PREMIERE PARTIE : MESURE ET GESTION DU RISQUE DE TAUX D’INTERET BANCAIRE : APPROCHE THEORIQUE

1. Impasse comptable traditionnelle

L’impasse comptable est exprimée comme la différence entre les avoirs et les engagements, d’une échéance donnée qui est souvent l’année, sensibles à l’évolution des taux. Les opérations sensibles à l’évolution des taux sont les opérations indexées sur des taux de marché, variables ou révisables, ou des taux réglementés. Selon la périodicité avec laquelle un taux est révisé et la maturité de l’impasse comptable, une opération peut être considérée comme étant à taux fixe ou à taux variable. Ainsi, par exemple, une opération dont le taux est révisable tous les six mois est considérée à taux fixe pour une échéance inférieure à six mois mais à taux variable pour une échéance supérieure à six mois.

L’impasse comptable d’échéance M est exprimée par l’équation (1.1).

(1.1)

avec GAP_M,t, l’impasse d’échéance M,

SA_M,t et SL_M,t, désignent respectivement les avoirs et les engagements dont les taux varient au cours de la période M ou dont les taux sont révisés à l’échéance M.

Lorsque l’impasse est nulle, la banque est couverte contre le risque de taux pour la maturité M.

En revanche, si l’impasse est positive (négative), la banque est en position courte (longue) et est exposée favorablement (défavorablement) à la hausse des taux et défavorablement (favorablement) à la baisse des taux.

Ainsi, par exemple, si la banque veut être couverte contre le risque de taux, et que son impasse 1 an est négative, elle va augmenter la part de ses avoirs court terme, et donc diminuer la part de ses avoirs long terme, et/ou diminuer la part de ses engagements court terme, et donc augmenter la part de ses engagements long terme. Le raisonnement inverse s’applique si son impasse 1 an est initialement positive.

En d’autres termes, si la banque anticipe une augmentation des taux d’intérêt, elle va constituer un excédent d’avoirs sensibles à l’évolution des taux par rapport aux engagements de même nature. De même, si elle anticipe une baisse des taux d’intérêt, elle va constituer un excédent de ressources sensibles à l’évolution des taux d’intérêt par rapport aux engagements.

Si l’impasse comptable a l’avantage d’être une mesure simple, elle présente toutefois un certain nombre de limites :

• la distinction entre les opérations à taux fixe et les opérations sensibles à l’évolution des taux, pour une échéance donnée, est quelque peu arbitraire. En effet, en considérant par exemple une impasse 1 an, des avoirs ou des engagements sensibles à l’évolution des taux peuvent être considérés comme étant à taux fixe à un an mais à taux variable ou révisable à plus long terme ;
• cette mesure ne prend pas en compte les différences de sensibilité des taux des avoirs et des engagements aux variations des taux de marché et réglementés. En effet, les taux des avoirs et des engagements ne sont généralement pas parfaitement corrélés : les taux des engagements sont plus rigides que les taux des avoirs car les engagements sont souvent indexés sur des taux réglementés qui s’ajustent avec un certain retard à l’évolution des taux de marché ;
• les taux sont supposés se modifier en début de période alors qu’en réalité les taux s’ajustent en cours de période à l’évolution des taux de marché ;
• enfin, cette mesure du risque de taux a un horizon unique alors que les gestionnaires doivent autant porter leur attention sur la marge d’intérêt des années à venir que sur celle de l’année en cours.

Les deux dernières limites de l’impasse comptable, selon lesquelles les taux se modifient en début de période et l’horizon est unique, peuvent être dépassées en généralisant l’impasse à plusieurs horizons, dans un tableau de structure des maturités.

2. Tableau de structure des maturités

Le tableau de structure des maturités ou échéancier est une généralisation à plusieurs horizons de la méthode de l’impasse comptable. La construction du tableau de structure des maturités nécessite de recenser sur un état unique toutes les opérations du bilan et du hors-bilan engendrant une position de taux en fonction de leur maturité.

Cette méthode apporte deux principales améliorations à la méthode des impasses comptables. Tout d’abord, elle permet d’obtenir des impasses comptables pour divers horizons successifs de plus en plus éloignés, appelées fourchettes d’échéances. Les horizons peuvent varier de quelques semaines à quelques mois, voire une année et au-delà. Ensuite, le problème de l’indexation des taux des opérations aux taux de marché ou réglementés qui pouvait avoir lieu au cours de l’année est éliminé dans la mesure où des fourchettes d’échéances inférieures à l’année sont prises en compte.

En supposant que toutes les impasses sont indexées sur le même taux, une banque est immunisée contre le risque de taux si la somme de toutes les impasses comptables de tous les horizons, et non pas chacune des impasses, est nulle.

Bien que le tableau de structure de maturité mesure plus finement le risque de taux d’intérêt que l’impasse comptable, il présente encore un certain nombre d’inconvénients :

• comme pour l’impasse comptable, le tableau de structure des maturités ne prend pas en compte les différences de sensibilité des taux des actifs et des engagements à une modification des taux d’intérêt ;
• le tableau de structure des maturités utilise des impasses comptables encore trop longues, bien que plus courtes que l’impasse comptable traditionnelle. Seule la prise en compte d’impasses journalières permettrait d’estimer avec suffisamment de fiabilité l’exposition au risque de taux d’intérêt ;
• cette méthode mesure les effets des variations de taux sur les avoirs et les engagements existants mais ne prend pas en compte les changements sur le volume des avoirs et des engagements engendrés par les variations de taux ;
• ce tableau permet d’analyser la sensibilité de la marge d’intérêt associée à chaque horizon mais ne permet pas d’obtenir une mesure globale résumant la sensibilité de toutes ces marges d’intérêt ;
• l’influence des variations de taux d’intérêt sur la valeur actualisée de la banque n’est pas prise en compte.

La méthode de l’impasse comptable, comme celle du tableau de structure des maturités, ne prend pas en compte l’impact des taux sur les flux futurs. Le principe de l’actualisation, utilisé dans la méthode des impasses comptables actualisées ou dans la méthode de la duration, permet de dépasser cette limite.

3. Impasse comptable actualisée

L’impasse comptable actualisée d’échéance M est exprimée comme la différence entre les valeurs actualisées des avoirs et des engagements sensibles à l’évolution des taux au cours de la période M. Elle est notée GAPa_M. L’impasse actualisée prend en compte la sensibilité des opérations du bilan aux variations des taux mais également l’impact de l’évolution des taux d’intérêt sur la valeur actuelle et future de ces opérations. Elle est exprimée par la relation suivante :

(1.2)

avec MVSA_M,t et MVSL_M,t, la valeur actualisée des avoirs et des engagements sensibles à l’évolution des taux pour une échéance M,

r_A et r_L, le taux d’actualisation de l’actif et du passif.

Dans ce qui précède, la méthode des impasses comptables, actualisées ou non, généralisée ou non à plusieurs horizons procure une photographie plus ou moins détaillée du bilan sensible à l’évolution des taux. Une autre possibilité est d’utiliser la méthode de la duration pour mesurer les effets des variations des taux d’intérêt sur la valeur de liquidation de la banque.

1. Indexation temporelle des taux d’intérêt

Gilkeson, Hudgins et Ruff [1997] reprennent la méthode de l’impasse comptable. Néanmoins, ils dépassent la limite de cette méthode selon laquelle les taux des avoirs et des engagements sont modifiés en début de période en considérant que les taux sont modifiés en moyenne au cours de la période considérée.

Gilkeson, Hudgins et Ruff [1997] expriment alors la variation de la marge d’intérêt par la relation suivante :

(1.6)

où reflète le point moyen au cours de la période, soit entre t et t+1, où les taux sont modifiés. (1-) est estimé empiriquement.

L’étude est réalisée à partir de données trimestrielles sur la période allant du 4^ème trimestre de l’année 1984 jusqu’au 3^ème trimestre de l’année 1988. L’échantillon utilisé par les auteurs est constitué de 433 à 450 banques américaines selon les trimestres. L’estimation est d’abord réalisée sur l’ensemble de l’échantillon puis en distinguant les banques en fonction de la taille du bilan (les auteurs scindent l’échantillon en quartiles pour définir les groupes de banques.

Les résultats montrent effectivement que les taux des opérations ne sont pas modifiés en début de période. La valeur estimée du coefficient est comprise entre 0.49 et 0.81, ce qui signifie que la révision des taux a lieu en moyenne au cours du second semestre d’une année et non en début d’année.

Par ailleurs, il apparaît que l’impasse 1 an explique bien la sensibilité de la marge d’intérêt à l’évolution des taux d’intérêt et que les petites banques sont plus exposées au risque de taux que les grandes banques.

2. Sensibilité à l’évolution du taux du marché monétaire

Nguyen The Van [1995] prend en compte la sensibilité des taux d’intérêt rémunérant les postes du bilan aux variations du taux de refinancement sur le marché monétaire.

Après avoir distingué les avoirs et les engagements du bilan en fonction de leur taux et de leur maturité, Nguyen The Van [1995] leur attribue un coefficient de sensibilité à l’évolution du taux du marché monétaire. Il y a donc autant de coefficients de sensibilité que d’horizons de raisonnement et que de catégories d’opérations. L’auteur considère n catégories de taux (taux fixe, taux de base bancaire, pibor 3 mois...).

Le taux d’une opération est décomposé en une marge commerciale et un taux de référence, qui est un taux de marché ou un taux réglementé, plus ou moins sensible à l’évolution du taux de refinancement sur le marché monétaire. Nguyen The Van [1995] décompose donc le taux de la catégorie i en une composante, fonction du taux de refinancement sur le marché monétaire, et la marge commerciale, comme le décrit la relation suivante :

, 0<<1 (1.7)

avec r_i, le taux de la catégorie i, i = 1,2,.....,n,

r₀, le taux de refinancement sur le marché monétaire,

k_i, la marge commerciale associée à chaque opération i du bilan,

λ_i, le coefficient de sensibilité d’un taux de marché ou réglementé au taux du marché monétaire. Pour des taux fixes, λ_i = 0, alors que pour des taux parfaitement indexés au taux du marché monétaire, λ_i = 1. Les taux ne surréagissent pas à une modification du taux de refinancement et donc λ_i n’est jamais supérieur à 1. λ_i est aléatoire (excepté pour les taux fixes) car les banques ne maîtrisent pas totalement la sensibilité des taux de marché ou réglementés au taux de refinancement sur le marché monétaire.

L’expression de la marge d’intérêt s’écrit alors :

(1.8)

avec A_i, les avoirs de la catégorie i, i = 1,2,....,n,

D_i, les dépôts de la catégorie i, i = 1,2,...,n,

α_i et δ_i, la marge associée respectivement aux avoirs i et aux dépôts i par rapport au taux de refinancement sur le marché monétaire,

RF, le solde de refinancement tel que , avec K, les fonds propres.

Le coefficient de recyclage des crédits vers les dépôts est exprimé par la relation suivante :

(1.9)

avec 0<η<1, le coefficient de recyclage des crédits vers les dépôts. η est aléatoire car la clientèle retire ses dépôts à son gré.

Le solde de refinancement s’écrit alors :

(1.10)

En remplaçant le solde de refinancement de l’équation (1.8) par l’équation (1.10), la marge peut être exprimée en une partie fixe et une partie variable :

(1.11)

La première accolade de l’équation (1.11), composée des marges fixes sur les avoirs et sur les dépôts, constitue la marge d’intérêt à taux fixes. La seconde accolade constitue la partie variable de la marge globale d’intérêt. Elle représente la sensibilité de la marge globale d’intérêt à une variation du taux de refinancement sur le marché monétaire r₀. Elle est composée du résultat variable de la position de taux (1^er crochet) et de la position de liquidité (2^nd crochet).

La banque est couverte contre le risque de taux lorsque la seconde accolade est nulle, c’est-à-dire lorsque l’impasse comptable et le solde de refinancement sont égaux. A l’inverse, la banque est exposée défavorablement à la hausse (baisse) des taux si la seconde accolade est négative (positive). L’exposition de la banque au risque de taux est d’autant plus forte que l’excédent des avoirs sur les dépôts, la sensibilité des différents taux de référence de chaque opération aux variations du taux du marché monétaire (_i), le solde de refinancement ainsi que le coefficient de fuite des crédits vers les dépôts sont plus élevés. En revanche, une part croissante des dépôts à taux fixe diminue la sensibilité de la marge globale d’intérêt au taux du marché monétaire.

3. Sensibilité à l’évolution des taux estimée par les durations modifiées

Alors que la duration mesure l’élasticité prix d’un instrument à taux fixe pour des variations des taux de rendement du marché, la duration modifiée mesure l’élasticité prix d’un instrument à taux fixe pour des variations des taux d’intérêt. La duration modifiée est définie par la relation suivante :

(1.12)

avec R, le taux d’actualisation de la période de l’instrument financier,

c, le nombre de fois par période où les intérêts sont versés (par exemple 2 pour un coupon bisannuel d’un bon quand le taux R est annuel).

Houpt et Embersit [1991] réalisent des simulations pour une banque hypothétique. Ils classent les avoirs et les engagements du bilan et du hors-bilan en fonction de leur maturité contractuelle ou des dates de révision des taux et des caractéristiques des cash-flows. Ces positions nettes sont alors pondérées par des facteurs de risque qui sont estimés à partir du concept de duration modifiée.

Houpt et Embersit [1991] montrent que la duration modifiée de la plupart des instruments financiers augmente à taux décroissant avec la maturité et que la duration modifiée des instruments financiers les plus longs est généralement inférieure à 10 ans.

Les auteurs construisent les pondérations à partir des hypothèses suivantes :

• 8 fourchettes d’échéances (0-3 mois, 3-12 mois, 1-2 ans, 2-3 ans, 3-5 ans, 5-10 ans, 10-20 ans et plus de 20 ans),
• 4 vecteurs de coefficients de pondération  : 3 pour les actifs (actifs amortissables, non amortissables et au comptant) et un pour les engagements,
• les dépôts sont répartis entre plusieurs fourchettes d’échéance de manière à leur donner une maturité moyenne de 2.5 ans,
• pas de facteurs de risque spécifiques pour les positions du hors-bilan, qui sont réparties en actifs amortissables et non amortissables.

Il y a finalement 32 pondérations de risque différentes qui sont calculées pour estimer l’impact d’une hausse de 1 point de pourcentage des taux de marché sur la valeur de la position.

Les simulations mettent en évidence une position nette pondérée positive qui exprime une exposition défavorable de la banque à une hausse des taux de marché. Un accroissement de 1% du taux de marché engendre une plus forte baisse de la valeur actuelle de l’actif que de celle du passif.

La position nette pondérée est une statistique clé. Quand elle est divisée par la valeur nette de la banque et multipliée par 100, d’une part, elle procure une mesure synthétique de l’exposition au risque de taux d’intérêt de la banque et d’autre part, elle informe sur le degré d’insolvabilité d’une banque pour des variations données des taux d’intérêt. De plus, lorsque la position nette pondérée est rapportée au total du bilan, elle constitue un indice de sensibilité qui indique le degré de sensibilité des positions de la banque aux variations des taux d’intérêt.

D’un point de vue empirique, le principe des positions nettes pondérées est proposé aux banques américaines depuis 1994 par la Réserve Fédérale^Note2. .

4. Points-sensibilité de la Réserve Fédérale Américaine

Neuberger [1993] et Wright et Houpt [1996] mesurent la sensibilité de la valeur nette des banques américaines à partir de pondérations définies par la Réserve Fédérale^Note3. (Fed).

Neuberger [1993] reprend et modifie, pour des raisons de disponibilité de l’information sur les maturités des opérations bancaires, la version de mars 1993 de la méthode proposée par la Fed pour mesurer le risque de taux d’intérêt (la version définitive de cette méthode est mise en application par la Fed depuis 1994). Neuberger [1993] reprend les pondérations de la Fed avec 4 vecteurs de coefficients de pondération : 3 pour les actifs (actifs amortissables, non amortissables et au comptant) et un pour les engagements. Toutefois, il fait un certain nombre de compromis. Notamment, il considère 4 fourchettes de maturité (1-3 mois, 3-12 mois, 1-5 ans et plus de 5 ans) alors que la Fed en considérait 7 (1-3 mois, 3-12 mois, 1-3 ans, 3-5 ans, 5-10 ans, 10-20 ans et plus de 20 ans) et il ne prend pas en compte les opérations du hors-bilan.

Neuberger estime la position nette pondérée rapportée au total du bilan pour une hausse de 200 points de base de la courbe des taux. Ainsi, une valeur de 1 du ratio calculé indique qu’une hausse de 200 points de base des taux réduit la valeur nette de la banque sur le total des actifs de 1%. Il considère un échantillon de 1484 banques commerciales américaines sur la période 4^ème trimestre 1988-1^er trimestre 1993.

Contrairement à ce qui était attendu, les estimations indiquent une baisse de l’exposition au risque de taux d’intérêt à partir du milieu de l’année 1990 : le ratio position nette pondérée sur total de l’actif est proche de 1 au milieu de l’année 1990 et baisse à 0.85 en 1993. L’exposition au risque de taux d’intérêt n’est donc pas excessive. Toutefois, ce résultat pourrait être dû à deux limites de la méthode utilisée : la non prise en compte des activités de hors-bilan et l’agrégation des banques qui dissimulerait l’éventuel accroissement du risque de taux propre à chaque banque.

Wright et Houpt [1996] reprennent le modèle mis en application par la Fed en 1994 en considérant tout d’abord 4 fourchettes d’échéance puis 7. Ils comparent la mesure du risque de taux d’intérêt obtenue avec celle d’un modèle plus sophistiqué, le modèle OTS, appliqué aux institutions de dépôts par le bureau de supervision des institutions de dépôts (Office of Thrift Supervision).

Il apparaît alors que le modèle de la Fed avec 4 fourchettes d’échéances (0-3 mois, 3-12 mois, 1-5 ans et plus de 5 ans) a tendance à surestimer le risque de taux d’intérêt des institutions de dépôts par rapport au modèle OTS. En revanche, le fait de considérer 7 fourchettes d’échéances (0-3 mois, 3-12 mois, 1-3 ans, 3-5 ans, 5-10 ans, 10-20 ans et plus de 20 ans), au lieu de 4, permet de réduire l’écart de mesure entre les deux modèles. Une répartition des opérations dans des fourchettes d’échéances suffisamment fines est donc la garantie d’une mesure du risque de taux d’intérêt fiable.

Ils appliquent ensuite le modèle de la Fed avec 7 fourchettes d’échéances à un échantillon de banques commerciales. Ils montrent que les institutions de dépôt sont beaucoup plus exposées au risque de taux d’intérêt que les banques commerciales, compte tenu principalement de la forte concentration de prêts hypothécaires dans le bilan des institutions de dépôt.

Les régressions multifacteurs des résultats bancaires constituent la dernière méthode ayant recours à des données comptables que nous présentons. Cette méthode permet de montrer empiriquement quels sont les facteurs susceptibles d’influencer l’exposition au risque de taux d’intérêt des banques.

1. Influence des taux de long terme

Bordes, Goyeau et Sauviat [1990] analysent l’effet des variations des taux de long terme sur le taux de marge et la rentabilité des banques des pays de l’OCDE. Ils supposent que le système bancaire fonctionne en situation de concurrence monopolistique avec des barrières à l’entrée. Ils considèrent que le bilan des banques est constitué à l’actif de crédits C et de réserves obligatoires R et au passif de dépôts D et de capital K.

Les réserves obligatoires ne sont pas rémunérées et sont telles que : R = ρD,

ρ étant le taux de réserves obligatoires,

Le capital tel que : K = kB

k étant le ratio de capital et B le total du bilan.

Les auteurs expriment le taux de marge bancaire (mi) et le rendement de l’activité bancaire respectivement par les deux équations suivantes :

mi = α + βρ + χk + δrl (1.13)

ε + Фρ + γk + ηmi (1.14)

avec , et ,

i_c, la valeur moyenne des taux sur les crédits,

i_d, la valeur moyenne des taux sur les dépôts,

rl, le taux de long terme,

, le profit constitué du profit financier et du profit non financier tel que : , Π₁ = i_cC - i_dD et .

Les coefficients β, χ, δ de l’équation (1.13) sont attendus avec un signe positif. Une politique de réserves obligatoires plus restrictive (hausse de ρ) et une réglementation prudentielle plus contraignante (hausse de k) ont un effet positif sur le taux de marge, mi, respectivement en augmentant le taux d’intérêt sur les crédits et en diminuant les taux sur les dépôts. Une hausse du taux long terme devrait également avoir un effet positif sur le taux de marge, les taux sur les dépôts s’ajustant généralement moins rapidement à l’évolution des taux de marché que les taux sur les crédits.

Dans l’équation (1.14), le modèle théorique ne permet pas de déterminer le signe du coefficient . En effet, une variation des réserves obligatoires exerce un double effet sur la rentabilité bancaire : un effet négatif, puisqu’un accroissement des réserves obligatoires (non rémunérées) affecte la part de l’actif rémunéré, et un effet positif sur les profits non financiers, Π₂, puisque les banques réagissent en développant les activités de hors-bilan ou en réduisant les services non facturés à la clientèle. En revanche, les coefficients du ratio de capital et de la marge d’intérêt, et , sont attendus avec un signe positif. Un ratio de capital plus strict accroît la part du passif non rémunéré et donc la rentabilité de la banque. Enfin, une hausse de la marge d’intérêt accroît la rentabilité.

Les équations (1.13) et (1.14) sont estimées sur la période 1979-1986 pour l’ensemble des pays de l’OCDE. L’estimation du modèle confirme les signes positifs attendus des coefficients β, χ, δ, et , notamment le fait que les banques de l’OCDE sont exposées au risque de taux d’intérêt : la hausse des taux de long terme a un impact positif sur leur marge d’intérêt et sur leur rentabilité. En revanche, l’impact des réserves obligatoires sur la rentabilité des banques est négatif : l’effet négatif issu de la réduction de la part de l’actif rémunéré aux taux de marché est donc plus important que l’effet positif sur les produits non financiers.

2. Influence des taux de court terme et de long terme

Mitchell [1989] mesure le risque de taux d’intérêt d’une banque en exprimant les intérêts reçus et les intérêts versés en fonction des avoirs et des engagements de court terme et de long terme. Il exprime les intérêts reçus et les intérêts versés par les relations suivantes :

(1.15)

(1.16)

avec IR_t et IV_t, les intérêts reçus et les intérêts versés,

B_t, le total du bilan,

α₁ et β₁, correspondent à la part des avoirs et des engagements de long terme dans le total du bilan et α₂ et β₂ à la part des avoirs et des engagements de court terme dans le total du bilan. On doit avoir α₁ + α₂ ≤1 et β₁ + β₂ ≤1,

U_t et V_t, les termes d’erreur,

L’auteur ne distingue pas les taux des avoirs de court terme (rs_a,t) de ceux des engagements de court terme (rs_l,t) et pose :

rs_a,t = rs_l,t =rs_t.

Les taux long terme des avoirs (rl_a,t) et des engagements (rl_l,t) sont exprimés comme une moyenne mobile pondérée du taux de marché de long terme (rl_t,) tels que :

,

,

avec q_n et s_m, des constantes telles que qui représentent les décisions prises à propos de la maturité et des caractéristiques contractuelles des opérations de long terme.

L’auteur estime les équations (1.15) et (1.16) avec des données semestrielles sur les deux périodes 1976.1-1979.2 et 1980.1- 1983.2, pour un échantillon de 63 banques américaines, en distinguant les petites banques (bilan < 100 millions USD), des moyennes (100 MUSD bilan 300 MUSD) et des grandes (bilan > 300 MUSD). Les auteurs montrent que toutes les banques américaines sont exposées au risque de taux d’intérêt sur cette période, quelle que soit leur taille et quelle que soit la maturité des taux. Cependant, ce sont les grandes banques qui sont le moins exposées au risque de taux.

3. Influence de la structure des anciennes et des nouvelles opérations du bilan

Flannery [1981, 1983] considère un portefeuille d’actifs qui génère des revenus sensibles au niveau et à la volatilité des taux du marché. Ainsi, s’il n’y a pas de contrainte sur le portefeuille passé, les revenus générés a un moment donné par la répartition optimale des actifs de ce portefeuille sont tels que :

(1.17)

avec , les revenus du portefeuille optimal,

r_t, le taux d’intérêt,

, la volatilité du taux d’intérêt,

TA_t, le total de l’actif.

En réalité, le total des revenus a deux origines :

d’une part, ils proviennent du portefeuille d’actifs nouveaux, TA_t-TA_t-1, () qui reflète les conditions courantes du marché ;

d’autre part, ils sont générés par le portefeuille d’actifs anciens, TA_t-1, () qui ne reflète les conditions courantes du marché qu’à travers les actifs anciens arrivés à maturité et réinvestis sur la période et les actifs sensibles à l’évolution des taux dont les taux s’ajustent instantanément aux nouvelles conditions du marché.

Le total des revenus s’écrit alors :

(1.18)

La totalité des actifs anciens ne s’ajuste que partiellement aux conditions du marché, comme le décrit l’expression suivante :

(1.19)

où 0<λ<1 représente la vitesse d’ajustement du portefeuille d’actifs anciens aux nouvelles conditions du marché.

Flannery exprime les revenus issus des nouveaux actifs, , et les revenus issus du portefeuille optimal, , respectivement par les deux équations suivantes :

, (1.20)

(1.21)

En intégrant les équations (1.20) et (1.21) dans (1.18) et en divisant par TA_t-1, le rendement du portefeuille d’actifs s’écrit :

(1.22)

avec α₀, α₂, α₄, α₅≥0 0≤α₁≤1, α₃<>0,

, , , , ,

La constante α₀ de l’équation permet de prendre en considération les éventuels éléments fixes qui sont indépendants des conditions du marché.

La vitesse d’ajustement du portefeuille est estimée par . Si , la vitesse d’ajustement du portefeuille est instantanée, les nouvelles conditions du marché s’appliquent à l’intégralité des actifs. Les revenus de la période t sont donc indépendants de ceux de la période t-1. Si , la vitesse d’ajustement est nulle, les revenus de la période t-1 sont parfaitement corrélés à ceux de la période t. Le portefeuille d’actifs présente alors une forte inertie. Les revenus et les coûts n’évoluent d’une période à l’autre que si la taille du portefeuille augmente.

La maturité moyenne du portefeuille d’actifs est telle que :

La structure de l’équation (1.22) peut être transformée pour exprimer les coûts (TOE) d’une banque puis par déduction le revenu net (NCOE) :

(1.23)

(1.24)

Finalement, des résultats bancaires insensibles aux variations des taux d’intérêt reflètent une bonne anticipation de l’évolution du taux d’intérêt de la part des banques. En revanche, une forte sensibilité à la baisse ou à la hausse des résultats bancaires aux variations des taux d’intérêt ne permet pas de conclure à une mauvaise anticipation de l’évolution des taux, le degré souhaité d’exposition des banques au risque de taux n’étant pas observable.

Flannery a estimé ce modèle pour un échantillon de 15 grandes banques commerciales américaines, dont le bilan est supérieur à 2 milliards de dollars, sur la période 1952-1978 (Flannery [1981]) et pour un échantillon de 12 petites banques sur la période 1960-1978 (Flannery [1983]). Le taux du marché est représenté par le taux des bons du Trésor 12 mois mais les estimations réalisées avec le taux des fonds fédéraux ou des taux obligataires procurent des résultats identiques.

L’estimation du modèle met en évidence des résultats similaires pour les deux échantillons :

• la vitesse d’ajustement de l’actif est supérieure à celle du passif, ce qui signifie que les banques empruntent à plus long terme qu’elle ne prêtent ;
• les banques américaines, quelle que soit leur taille, ne sont pas menacées par les fluctuations des taux d’intérêt au cours des années 60 et 70. L’adossement des maturités moyennes à l’actif et au passif permet de relativement bien protéger les banques contre les fluctuations des taux d’intérêt, qu’elles soient de grande taille ou de petite taille. Les variations des taux d’intérêt affectent effectivement les revenus et les coûts mais les effets ont tendance à se compenser : les banques ne sont que faiblement exposées au risque de taux d’intérêt.

Goyeau, Sauviat et Tarazi modifient le modèle de Flannery en considérant que les conditions de marché sont représentées par le niveau et la volatilité des taux (Goyeau, Sauviat et Tarazi [1998]) mais également par la pente de la structure par terme des taux (Goyeau, Sauviat et Tarazi [2002]).

Goyeau, Sauviat et Tarazi [1998] montrent, pour les pays du G5 sur la période 1988-1995, que l’incidence des variations des taux d’intérêt sur le résultat net des banques est très différente selon la taille de la banque et/ou le système bancaire considéré. Notamment, la baisse des taux est favorable au système bancaire américain et défavorable au système bancaire français. Ces résultats sont imputables essentiellement aux banques de petite taille. Goyeau, Sauviat et Tarazi [2002] mettent également en évidence, toujours sur la période 1988-1995 mais dans le cas des banques européennes, des réponses différentes à l’évolution des taux d’intérêt. En effet, les résultats de ces banques peuvent dépendre du niveau des taux d’intérêt (banques françaises, belges et danoises), de la structure des taux (banques britanniques et italiennes) ou des deux à la fois (banques espagnoles). Enfin, quelle que soit l’étude considérée, l’impact de la volatilité sur les résultats bancaires est assez modéré.

Nous avons présenté un certain nombre de méthodes qui mesurent le risque de taux d’intérêt au niveau du bilan et des résultats d’une banque. Nous avons alors mis en évidence un certain nombre d’améliorations à apporter aux méthodes traditionnelles, des limites et des recommandations, en particulier :

• intégrer avec le plus de précision possible les dates de révision des taux ainsi que les échéances des opérations du bilan en regroupant par exemple les opérations en fonction de certaines spécificités comme la date de révision, la sensibilité à l’évolution des taux d’intérêt ou le niveau de risque ;
• prendre en compte l’impact de l’évolution des taux sur les résultats futurs et pas uniquement sur les résultats présents ;
• procurer une mesure globale de la sensibilité de la valeur de la banque aux variations des taux d’intérêt et non pas qu’une photographie du bilan sensible aux variations des taux ;
• faire l’objet d’applications économétriques et donc utiliser des données accessibles, ce qui n’est pas le cas des données relatives à la maturité des opérations bancaires.

Cette approche comptable de la mesure du risque de taux d’intérêt peut être complétée par une approche fondée sur la théorie financière ayant recours à des versions adaptées du modèle de marché. Cette approche par le marché permet alors de se prononcer sous certaines hypothèses sur la sensibilité de la rentabilité boursière d’une banque à l’évolution des taux d’intérêt.

1. Justification d’un modèle de marché à deux facteurs

L’objectif de Stone [1974] était de mieux expliquer l’évolution du rendement de certaines catégories de titres, particulièrement sensibles aux variations des taux d’intérêt, comme ceux des établissements de crédit. Il exprime alors le modèle de marché à deux facteurs, ou modèle de marché modifié, par la relation suivante :

(1.25)

avec , la rentabilité boursière du titre j en t ;

, la sensibilité, en t, de la rentabilité boursière du titre j au taux de rendement du marché, R_mt ;

, la sensibilité , en t, de la rentabilité boursière du titre j à un taux de rendement excluant tout risque de défaut comme le taux de rendement d’un Bon du Trésor, R_It ;

V_jt, le risque spécifique à l’actif j, dont l’espérance est nulle.

Lorsque le coefficient est positif, la banque est exposée défavorablement à la hausse des taux d’intérêt^Note4. (position longue). Il faut cependant noter que toute variation des taux d’intérêt affecte également la valeur de marché de la banque, définie par la valeur actualisée de ses flux futurs et cela, quelle que soit son exposition au risque de taux d’intérêt^Note5. . Un coefficient positif ne reflète donc pas uniquement l’exposition au risque de taux d’intérêt d’une banque.

A l’inverse, un coefficient négatif traduit une exposition favorable à la hausse des taux d’une banque (en position courte). Dans ce cas, le coefficient , en valeur absolue, est sous-estimé puisqu’il intègre l’impact négatif des taux sur la valeur de marché de la banque.

Un certain nombre d’éléments distinguent les études qui se sont intéressées à la sensibilité de la rentabilité boursière des banques (voir tableau 1) :

• la période d’estimation, afin de mettre en évidence l’évolution au cours du temps de la sensibilité boursière aux variations des taux d’intérêt en fonction de facteurs structurels et conjoncturels ;
• l’échantillon de banques, qui permet de faire apparaître une plus ou moins forte exposition au risque de taux selon la taille et la structure du bilan des banques ;
• la périodicité des estimations ;
• le facteur de taux d’intérêt, R_It, qui peut être un taux de rendement ou des variations de taux courantes, anticipées ou non anticipées ;
• la méthode retenue pour orthogonaliser les indices de marché avec les indices de taux d’intérêt. Etant donné qu’il n’y a pas de justification théorique pour choisir laquelle des deux variables est exogène ou endogène, certains auteurs choisissent de régresser les indices de taux d’intérêt sur les rendements du marché alors que d’autres utilisent les résidus au lieu de la variable exogène.
• la méthode d’estimation qui peut être par banque ou en pooling, c'est-à-dire pour un groupe de banques ;
• le nombre de facteurs dans le modèle de marché, qui peut être supérieur ou égal à 2. Par exemple, la volatilité des taux, les taux étrangers ou des variables dummy qui permettent de distinguer certaines périodes ou catégories de banques peuvent être pris en compte.

Ces éléments peuvent être à l’origine des différents résultats présentés dans le tableau 1. Toutes ces études sont réalisées pour des échantillons de banques américaines.

Tableau 1 : Synthèse des résultats des premières études de la sensibilité de la rentabilité boursière aux variations des taux d’intérêt

Auteurs	Période Echantillon Périodicité	RIt	Orthogonalisation entre Rm et RI	Méthode d’estimation	Modèle et résultats βI,CT, βI,MT, βI,LT1
Lloyd et Schick [1977]	-1969-1972 -60 banques commerciales -mensuelle	rendement	RI endogène RM exogène	Estimation par banque	2 facteurs βI LT (5**)2
Chance et Lane [1980]	-1972-1976 -119 banques commerciales -mensuelle	rendement	RI endogène RM exogène	Estimation par banque	2 facteurs βI CT , βI MT , βI LT
Lynge et Zumwalt [1980]	-1969-1972 -57 banques commerciales -mensuelle	rendement	RI exogène RM endogène	Estimation par banque	2 facteurs βI CT moyen = 0.62 (15**) βI LT moyen = -14.71 (14**) 3 facteurs : RI, CT et RI, LT βI CT moyen = 0.70 (20**) βI LT moyen = -15.50 (9**)
	-1969-1975 -57 banques commerciales -mensuelle	rendement	RI exogène RM endogène	Estimation par banque	2 facteurs βI CT moyen = 0.70 (42**) βI LT moyen = -14.36 (35**) 3 facteurs : RI, CT et RI, LT βI CT moyen = 0.70 (38**) βI LT moyen = -14.44 (28**)
Booth et Officer [1985]	1969-1972 1969-1975 1972-1976  -66 banques commerciales -mensuelle	rendement	RI endogène RM exogène	Estimation en pooling	2 facteurs 1969-1972 : βI CT =-0.0021** 1969-1975 : βI CT =-0.0021** 1972-1976 : βI CT =-0.0030**
	-1966-1980 -66 banques commerciales -mensuelle	variations courantes des taux d’intérêt3	RI endogène RM exogène	Estimation en pooling	2 facteurs βI CT=-0.0020**
	-1966-1980 -66 banques commerciales -mensuelle	variations anticipées des taux d’intérêt 4	RI endogène RM exogène	Estimation en pooling	2 facteurs βI CT=-0.0022**
	-1966-1980 -66 banques commerciales -mensuelle	variations non anticipées des taux d’intérêt 5	RI endogène RM exogène	Estimation en pooling	2 facteurs βI CT=-0.0064**

¹ Sensibilité de la rentabilité boursière à l’indice obligataire de court terme (CT), moyen terme (MT) et long terme (LT).

² Nombre de banques qui ont un coefficient β_I significatif au seuil de 5%.

³ Variations courantes du taux du bon du Trésor 3 mois (ΔR_3,t) telles que : ΔR_3,t = R_3,t - R_3,t-1

⁴ Variations anticipées du taux du bon du Trésor 3 mois (F_3,t), telles que : F_3,t = _t+1F_{3, t} - R_3,t , _t+1F_{3, t} étant le taux 3 mois terme à terme en t+1, prévu en t.

⁵ Variations non anticipées du taux du bon du Trésor 3 mois en t+1 prévu en t (_t+1F_{3, t}) tel que : _t+1F_{3, t} =[ (1+ R_6,t )² / (1+R_3,t )²]-1

** indique la significativité des coefficients au seuil de 5%.

Les premières études (Lloyd et Schick [1977] et Chance et Lane [1980]) ne font pas apparaître de sensibilité boursière à l’évolution des taux, que ce soit pour les taux long terme sur la période 1969-1972 (Lloyd et Schick [1977] ) ou pour les taux court, moyen et long terme sur la période 1972-1976 (Chance et Lane [1980]).

En revanche, Lynge et Zumwalt [1980] et Booth et Officer [1985] mettent en évidence une exposition au risque de taux des banques. Booth et Officer [1985], qui estiment un modèle en faisant du pooling, contrairement aux études précédentes qui réalisent des estimations pour chaque banque, confirment les résultats de Lynge et Zumwalt [1980], en montrant une exposition aux variations courantes, anticipées et non anticipées des taux court terme.

Devant les différents résultats obtenus quant à la sensibilité de la rentabilité boursière à l’évolution des taux, nous montrons que celle-ci dépend notamment des caractéristiques du bilan, qu’elle évolue au cours du temps mais également avec la volatilité et la prime de risque.

2. Risque de taux d’intérêt et caractéristiques du bilan

Comme nous l’avons déjà mis en évidence en mesurant le risque de taux d’intérêt à partir de données comptables, l’exposition au risque de taux d’intérêt d’une banque dépend de la taille de son bilan mais également de sa structure : selon leur taille, les banques peuvent en effet avoir une activité plus ou moins diversifiée et utiliser des méthodes de couverture du risque plus ou moins sophistiquées.

3. Evolution du risque de taux d’intérêt au cours du temps

Un grand nombre d’études s’est intéressé à l’effet des changements de politique monétaire aux Etats-Unis d’octobre 1979 et d’octobre 1982, qui ont été suivis respectivement par une hausse et une baisse de la volatilité des taux.

Aux Etats-Unis, les changements de politique monétaire d’octobre 1979 et d’octobre 1982 ont été à l’origine respectivement d’une hausse puis d’une baisse de la volatilité des taux. Jusqu’en octobre 1979, l’objectif de la Fed en terme de politique monétaire était de contrôler les taux des fonds fédéraux à court terme. En octobre 1979, la Fed a modifié ses objectifs de politique monétaire et augmente le taux d’emprunt des réserves, ce qui se traduit par une forte augmentation de la volatilité des taux. En octobre 1982, elle adopte de nouvelles procédures opérationnelles de politique monétaire en fixant le montant des réserves empruntées, ce qui permet de diminuer la volatilité du taux des fonds fédéraux. C’est pourquoi la période qui englobe octobre 1979 et octobre 1982 a largement été retenue pour étudier l’effet de la volatilité des taux sur la rentabilité boursière des banques (Kane et Unal [1988], Brewer et Lee [1990], Akella et Chen [1990], Neuberger [1991], Choi, Elyasiani et Kopecky [1992], Maher [1997] et Choi et Elyasiani [1997]). Les résultats de ces études, plus ou moins tranchés selon les périodes étudiées et les méthodes retenues, sont synthétisés dans le tableau 2.

Excepté pour Choi et Elyasiani [1997], l’exposition au risque de taux d’intérêt des établissements bancaires américains évolue au cours du temps et notamment avec les changements de politique monétaire. Le changement de politique monétaire d’octobre 1979, qui est à l’origine d’une plus forte volatilité, et celui d’octobre 1982, qui est à l’origine d’une réduction de la volatilité, ont effectivement eu un impact sur la sensibilité de la rentabilité boursière à l’évolution des taux. Bien que les différentes méthodes utilisées ne font pas apparaître des résultats parfaitement identiques, il ressort de ces estimations que la sensibilité de la rentabilité boursière à l’évolution des taux est plus forte en période de volatilité plus élevée des taux.

Tableau 2 :Synthèse des résultats des études sur la sensibilité de la rentabilité boursière aux variations des taux d’intérêt avec un environnement plus ou moins volatil des taux

Auteurs	Période Echantillon Périodicité	RIt	Orthogonalisation entre Rm et RI	Méthode d’estimation	βI,CT, βI,MT, βI,LT1
Kane et Unal [1988]	- 1975-1985 - 31 banques commerciales 8 Caisses d’Epargne - mensuelle	rendement de la période d’un bon d’Etat de long terme	RI endogène RM exogène	Portefeuille de banques ou de Caisses d’Epargne Méthode de Goldfeld et Quandt [1972, 1973, 1976]	Banques commerciales : βI,LT  augmente entre 1979 et 1982 Caisses d’Epargne : βI,LT  augmente entre 1976 et 1982
Brewer et Lee [1990]	- janvier 1978-juin1984 3 cycles de croissance (janvier 1978-janvier 1980 ; août 1980-juillet 1981 et décembre 1982-juin 1984) 2 cycles de dépression (février 1980-juillet 1980 et août 1981-novembre 1982) - 45 conglomérats financiers dont l’activité principale est la banque commerciale - journalière	rendement des obligations du Trésor 3 ans variations non anticipées	Aucune. Le taux est construit de sorte qu’il n’y ait pas de corrélation entre RI et RM2.	Par banque	βI,MT varie significativement au cours de la période pour 12 banques
Akella et Chen [1990]	- 1974-1984 (1974-1979 et 1980-1984) - conglomérats financiers - mensuelle	- rendement de la période des bons du Trésor court et long terme - résidus d’un modèle autorégressif du rendement	Aucune	Portefeuille de banques	βI,CT  et βI,LT  diminuent à partir de 1980
Neuberger [1991]	- 1979-1990 (4 sous-périodes de 2 années chacune) - 84 conglomérats financiers - mensuelle	excès de rendement attendu sur la période d’un bon d’Etat à 30 ans	plusieurs méthodes qui procurent des résultats peu différents	Portefeuille de banques	βI,LT  diminuent à partir de 1985
Choi, Elyasiani et Kopecky [1992]	- 1975-1987 - 48 plus grandes banques - mensuelle	rendement du bon du Trésor 3 mois	Résidus d’un modèle ARIMA	méthode de Goldfeld et Quandt [1972, 1973, 1976]	βI,CT  augmente à partir de 1979
Maher [1997]	- 1976-1989 (régressions annuelles) - 16 conglomérats financiers - hebdomadaire	rendement du bons du Trésor 3 mois et 10 ans	Aucune	Portefeuille de banques	βI,CT  diminue à partir de 1982 βI,LT  diminue entre 1980 et 1984
Choi et Elyasiani [1997]	- 1975-1992 et 1981-1992 - 59 plus grandes banques - mensuelle	rendement du bon du Trésor 3 mois	Aucune	Portefeuille de banques	βI,CT  varie pour 15 banques après octobre 79 et pour 4 banques après janvier 1981.

¹ Sensibilité de la rentabilité boursière à l’indice obligataire de court terme (CT), moyen terme (MT) et long terme (LT).

² Le taux est construit comme l’écart entre le taux des bons du trésor 3 ans et le taux anticipé, estimé à partir d’un modèle ARIMA.

L’impact de la volatilité des taux sur la rentabilité boursière des banques peut être étudié en intégrant directement la volatilité dans le modèle de marché modifié.

4. Prise en compte de la volatilité des taux d’intérêt

Compte tenu de l’influence de la volatilité des taux d’intérêt sur l’exposition au risque de taux d’intérêt des banques, certains auteurs (Saunders et Yourougou [1990] et Bessler et Booth [1994]) se sont demandé si la volatilité pouvait influencer la rentabilité boursière : ils ont intégré la volatilité des taux dans le modèle de marché modifié.

Les variations de la volatilité des taux d’intérêt peuvent être prises en compte dans un modèle de marché à trois facteurs (Saunders et Yourougou [1990]) tel que :

(1.34)

avec , la variation hebdomadaire de la volatilité des taux d’intérêt. , étant le résidu de l’estimation ARIMA(p,1,0) des taux d’intérêt.

En scindant la période octobre 1977-décembre 1981 en deux sous-périodes autour d’octobre 1979, il apparaît qu’à partir d’octobre 1979, les rentabilités boursières des banques sont plus sensibles aux variations du 3 mois et sont moins sensibles à celles du 3 ans et du 30 ans. En revanche, la rentabilité boursière n’est pas influencée par les variations de la volatilité, quelle que soit la période.

La méthode des moindres carrés ordinaires, habituellement retenue pour expliquer l’évolution des rendements boursiers, peut produire des statistiques incorrectes si les erreurs ne suivent pas la loi de distribution normale, comme c’est souvent le cas des séries financières. C’est la raison pour laquelle, Bessler et Booth [1994] expriment les résidus du modèle de marché modifié à l’aide d’un processus GARCH(p,q)^Note8. , tel que :

(1.35)

(1.36)

avec h_t, la variance conditionnelle de la rentabilité boursière.

Les auteurs considèrent un échantillon constitué de 5 banques universelles allemandes et de 8 banques super régionales américaines sur la période janvier 1977-décembre 1986. Ils estiment leur modèle pour chacune des banques.

En utilisant un processus GARCH, l’estimation du modèle de marché modifié met en évidence pour toutes les banques, à l’exception d’une banque américaine, une exposition aux variations du taux 10 ans, avec toutefois une plus forte exposition pour les banques américaines que pour les banques allemandes. En revanche, l’utilisation de la méthode des moindres carrés ordinaires, fait apparaître une plus faible exposition au risque de taux d’intérêt, quelles que soient les banques.

Le processus GARCH permet également de mettre en évidence une évolution de la volatilité des taux au cours du temps : des effets GARCH ou ARCH. sont présents pour toutes les banques.

Compte tenu de l’impact de la volatilité sur les primes de risque, ces dernières ont également été intégrées dans le modèle de marché modifié.

5. Prise en compte des primes de risque du marché

Elyasiani et Mansur [1998] et Tai [2000] ont intégré des primes de risque dans le modèle de marché^Note9. en utilisant un processus GARCH-M (GARCH in Mean) respectivement dans un cadre univarié et dans un cadre multivarié.

Elyasiani et Mansur [1998] emploient un processus GARCH-M univarié qui permet, contrairement à un processus GARCH, de relier la prime de risque à la volatilité conditionnelle de la rentabilité boursière des banques :

(1.37)

(1.38)

avec , la prime de risque sur le marché pour le portefeuille j, définie comme l’excès de rendement du portefeuille j par rapport au bon du Trésor à un an;

, la volatilité conditionnelle de la rentabilité boursière du portefeuille j ;

où est l’information du marché en t-1 ;

D₂ et D₃, les variables dummy qui permettent de mettre en évidence les variations de la volatilité dues aux changements de politique monétaire respectivement en 1979 et 1982 ;

CVR, la volatilité conditionnelle des taux long terme, générée par un processus ARCH(1).

Elyasiani et Mansur [1998] estiment ce modèle sur la période janvier 1970-décembre 1992avec des taux long terme, pour un échantillon de 56 banques en distinguant les conglomérats financiers, les grandes banques et les banques régionales.

Ils montrent que la rentabilité boursière des conglomérats financiers et des grandes banques est sensible à sa volatilité, qui elle-même est sensible à la volatilité et aux variations des taux long terme. La volatilité des taux est donc un déterminant de la prime de risque du marché.

Tai [2000] utilise un modèle de marché à 3 facteurs (marché, taux d’intérêt et taux de change) avec des primes de risque sur les 3 facteurs qui varient au cours du temps. L’auteur emploie un GARCH-M multivarié, proposé par Ding et Engle [1994], pour paramétrer la structure des variances-covariances conditionnelles des rendements des titres.

Il généralise les travaux de Merton [1973] qui expriment la prime de risque d’un facteur en fonction de sa volatilité et d’une constante : les primes de risque des facteurs sont donc positivement corrélées à leurs volatilités conditionnelles respectives, telles que :

, la prime de risque du marché mondial

, la prime de risque du taux d’intérêt

, la prime de risque du taux de change

avec h_w,t, h_I,t, h_e,t, les variances conditionnelles respectivement du rendement du marché mondial, des taux d’intérêt et du taux de change.

Ainsi, le modèle de marché modifié à trois facteurs estimé s’écrit :

(1.39)

avec ER_i,t, l’excès de rendement de l’action i par rapport au taux sans risque.

Ce modèle est estimé sur la période novembre 1987-août 1998 pour un échantillon de 31 banques commerciales où sont distingués les conglomérats financiers, les grandes banques et les banques régionales.

La modélisation GARCH-M multivariée révèle que les primes de risque de taux d’intérêt et de taux de change varient au cours du temps, contrairement à la prime de risque du marché, et cela quel que soit le groupe de banques considéré. La prime de risque des taux d’intérêt a un impact sur la rentabilité boursière plus important que celui des primes du rendement du marché et des taux de change.

Ces différentes versions du modèle de marché isolent les effets des taux d’intérêt et de leur volatilité sur la rentabilité boursière des banques américaines mais présentent toutefois une limite importante. En effet, pour tous ces modèles, les coefficients β qui expriment la sensibilité boursière aux différents facteurs retenus sont constants au cours des périodes d’estimation. Or, depuis la fin des années 70, l’environnement économique a subi de profondes transformations, notamment aux Etats-Unis. Le contexte de hausse des taux d’intérêt et de leur volatilité a en effet conduit les banques à modifier leurs comportements ; ce changement ne peut cependant pas être pris en compte avec des coefficients β constants. De plus, l’hétéroscédasticité des rendements boursiers est potentiellement un facteur de variation des coefficients β. Compte tenu de cette limite du modèle de marché, il s’est avéré nécessaire de rendre variables au cours du temps ces coefficients de sensibilité.

1. Risque de taux d’intérêt et évolution temporelle des impasses de duration

Kwan [1991] et Borbolan [1998] considèrent que la sensibilité de la rentabilité boursière des banques évolue au cours du temps avec la duration des avoirs et des engagements nominaux de la banque. La duration est approximée par l’impasse 1 an des contrats nominaux du bilan (Kwan [1991]) puis par les impasses du bilan et du hors-bilan de quatre maturités différentes (Borbolan [1998]).

Kwan [1991] exprime la sensibilité de la rentabilité boursière par la structure des maturités des avoirs et des engagements nominaux de la banque :

(1.40)

avec , la sensibilité de la rentabilité boursière de la banque j aux taux d’intérêt, variable au cours du temps,

D_jt la duration des actifs nominaux nets de la banque j à la date t.

Le modèle estimé est donc le suivant :

(1.41)

La duration approximée par l’écart entre les avoirs et les engagements nominaux faisant l’objet de renégociations avant une année, est rapportée à la valeur des fonds propres. Cette proxy de la duration est en fait la variable SHORT de Flannery et James [1984a]. Elle est négativement corrélée à la duration : une augmentation de l’impasse implique une augmentation des avoirs de court terme ou une diminution des engagements de court terme, ce qui correspond à une diminution de la duration, toutes choses étant égales par ailleurs. De plus, l’indice de taux d’intérêt est négativement corrélé aux variations des taux d’intérêt. Le signe attendu de b_jD est donc bien toujours négatif.

Le modèle est estimé pour un échantillon de 51 banques commerciales, sur la période 1976-1982, en utilisant successivement des taux court terme et des taux long terme. D’une part, les résultats montrent que la sensibilité de la rentabilité boursière dépend des variations non anticipées des taux d’intérêt de court et de long terme, même dans le cas où les opérations de court terme seraient parfaitement adossées. Cela provient de la présence d’opérations à long terme dans le bilan ou d’opérations du hors-bilan, qui ne sont pas prises en compte dans l’impasse 1 an. D’autre part, la rentabilité boursière dépend négativement de l’impasse 1 an et donc positivement de l’impasse de duration. Toutefois, cette sensibilité n’est significative que pour le taux court terme.

Borbolan [1998] reprend le modèle de Kwan [1991] (équation (1.41)) mais approxime la duration par les impasses comptables du bilan puis du bilan et du hors-bilan pour 4 maturités dans le cas de l’action de l’établissement de crédit Compagnie Parisienne de Réescompte (CPR).

Borbolan considère 4 impasses, une impasse de court terme (imp_CT <=1 an), deux de moyen terme (1an< imp_MT1 <=2 ans et 2 ans< imp_MT2 <=5ans) et une de long terme (imp_LT >5 ans), auxquelles l’auteur associe respectivement 4 indices du CNO^Note10. , le CNO 3 mois, le CNO 1-3 ans, le CNO 3-5 ans et le CNO 10 ans.

Les impasses indiquent que la CPR est emprunteuse à court terme et à long terme mais prêteuse à moyen terme.

Le modèle est estimé avec des données mensuelles sur la période décembre 1989-août 1994.

Les résultats montrent que le coefficient de sensibilité de la rentabilité boursière de la CPR n’est pas sensible aux variations des taux d’intérêt mais aux impasses du bilan de moyen terme et de long terme. En effet, la rentabilité boursière de la CPR est positivement corrélée aux impasses du bilan dont la maturité est comprise entre 2 et 5 ans et est supérieure à 5 ans, ainsi qu’à l’impasse du bilan et hors-bilan dont la maturité est supérieure à 5 ans. En d’autres termes, une augmentation de la duration des actifs nominaux nets accroît la sensibilité de la rentabilité boursière aux variations des taux d’intérêt.

De plus la rentabilité boursière étant plus sensible à l’impasse long terme qu’à l’impasse moyen terme, la sensibilité de la rentabilité boursière aux taux d’intérêt dépend de la structure du bilan de la banque.

2. Risque de taux d’intérêt et volatilité conditionnelle

Song [1994] a été le premier à utiliser une modélisation ARCH dans un cadre bancaire. Il intègre une modélisation ARCH pour pouvoir prendre en compte la variation de la sensibilité boursière au cours du temps.

Il exprime les bêtas de marché et les bêtas de taux d’intérêt du modèle de marché en rapportant les covariances conditionnelles entre les rentabilités boursières des deux facteurs à la variance respectivement de chacun des deux facteurs. Les covariances, les variances et les moyennes conditionnelles ont des expressions autorégressives. Le modèle de marché s’écrit alors :

(1.42)

avec , l’excès de rendement des actions bancaires

L’estimation de ce modèle, par la méthode des moments généralisés de Hansen (1982) sur la période juin 1976-décembre 1987 fait apparaître que le risque de taux d’intérêt supporté par les banques de dépôt n’a pas été sensible au changement de la politique monétaire en 1979. En revanche, il a augmenté significativement vers la fin de l’année 1982 quand la Fed a modifié le taux sur les réserves.

Finalement, les différentes études que nous avons présentées peuvent mettre en évidence des résultats opposés. Il en ressort toutefois qu’un certain nombre d’éléments est à l’origine d’une plus forte exposition des banques au risque de taux d’intérêt :

Dans le cas américain, les Caisses d’Epargne représentent la catégorie d’établissements de crédit la plus exposée au risque de taux (Flannery et James [1984a, 1984b], Scott et Peterson [1986], Bae [1990] et Saunders et Yourougou [1990]) et plus elles sont petites, moins elles sont aptes à se couvrir contre le risque de taux (Madura et Wiley [2000]) ;

L’exposition au risque de taux des banques augmente avec l’impasse de duration (Akella et Grenbaum [1992], Kwan [1991] et Borbolan [1998]) et l’impasse à long terme (Borbolan [1998]) car leur rentabilité boursière étant plus sensible aux variations des taux de long terme que des taux de court terme ;

Les primes de risque évoluent au cours du temps, puisqu’elles sont fonction de la volatilité conditionnelle (Elyasiani et Mansur [1998] et Tai [2000]) et influencent la rentabilité boursière des banques.

Comme nous l’avons constaté dans cette revue de la littérature, la plupart des études portant sur la mesure du risque de taux d’intérêt a été réalisée dans le cas américain. Nous avons notamment montré que certaines catégories d’établissements bancaires, comme les Caisses d’Epargne, sont plus exposées au risque de taux que les banques commerciales. Nous souhaitons maintenant savoir si cette réalité est vérifiée dans le cas français. Pour cela nous appliquons le modèle de Flannery [1981, 1983] aux différentes catégories juridiques d’établissements de crédit français sur la période 1992-1999. Nous retenons ce modèle pour une question de disponibilité des données. En effet, les données nécessaires pour estimer ce modèle sont disponibles alors que ce n’est pas le cas des données concernant la duration. Les données de marché, quant à elles, sont accessibles, mais posent un problème de liquidité, en particulier pour les établissements de faible taille dont les titres sont rarement échangés.

1. Présentation des banques en fonction de leur statut juridique

La loi bancaire de 1984 relative à l’activité et au contrôle des établissements de crédit définit six catégories d’établissements de crédit qui se distinguent par leurs statuts juridiques et par leurs activités (Plihon [1998], Caudamine et Montier [1998]) : les banques AFB (association française des banques), les banques mutualistes et coopératives, les Caisses d’Epargne^Note11. , les sociétés financières, les institutions financières spécialisées et les Caisses de Crédit Municipal.

Les banques AFB, les banques mutualistes et coopératives, les Caisses d’Epargne et les Caisses de Crédit Municipal peuvent exercer toutes les opérations de banques, à quelques restrictions marginales près :

• Les banques AFB ont une compétence générale ;
• Les banques mutualistes ou coopératives pratiquent les mêmes activités que les banques AFB dans le respect des limitations qui résultent des textes législatifs et réglementaires qui les régissent. Ces banques n’ont pas d’actionnaires, elles ont des sociétaires et ont des statuts spéciaux de caractère coopératif, mutualiste, non lucratif ou public. Elles ont une structure décentralisée et sont organisées en 4 réseaux (5 depuis janvier 2000 avec les Caisses d’Epargne) : le Crédit Agricole, les Banques Populaires, le Crédit Mutuel et le Crédit Coopératif.

Les Caisses d’Epargne avaient un statut particulier (ce qui n’est plus le cas depuis janvier 2000). Elles étaient sous la tutelle de l’Etat par le biais de la Caisse des Dépôts et Consignations qui gère les ressources collectées sur le livret A et une partie de la ressource collectée sur le LEP (85%) et sur le CODEVI (52.5%).

Les Caisses de Crédit Municipal ne proposent pas tous les services d’une banque, comme l’épargne logement, par exemple. Leur vocation initiale, qui consistait à attribuer des prêts sur gages en contrepartie de remise d’objets précieux, constitue encore actuellement une part importante de leur activité.

Les Sociétés Financières et les Institutions Financières Spécialisées ne peuvent pas exercer toutes les activités de banque. Elles ne sont notamment pas autorisées à collecter les dépôts à court terme de la clientèle.

Les Sociétés Financières sont des maisons de titres, des intermédiaires financiers ou des sociétés spécialisées dans une activité particulière. Leurs opérations de banque sont réglementées dans un cadre qui dépend soit de leur statut législatif et réglementaire (Sociétés Immobilières pour le Commerce et l’Industrie, Sociétés de caution mutuelle…), soit de leur agrément pour une activité précise (crédits à la consommation, crédits immobiliers, location avec option d’achat…).

Les Institutions Financières Spécialisées sont des organismes auxquels l’Etat a confié une mission permanente d’intérêt public. Elles ont été créées initialement pour distribuer des prêts bonifiés aux particuliers et aux PME dans le cadre de la reconstruction de l’industrie d’après guerre.

2. Présentation de l’échantillon

Nos données sont extraites de la base de données BankScope © FitchIBCA et sont disponibles pour 192 banques. Notre échantillon de banques est composé de 100 banques AFB, 59 banques mutualistes, 10 caisses d’épargne^Note12. et 23 sociétés financières. Sur la période, les institutions financières spécialisées et les Caisses de Crédit Municipal sont représentées seulement respectivement par 5 et 1 établissements, ce qui n’est pas suffisant pour que ces deux catégories d’établissements de crédit fassent l’objet d’une estimation empirique.

La vitesse d’ajustement du bilan à l’évolution des taux de marché est un élément important de notre modèle. Nous voulons donc nous assurer que le taux de croissance du bilan ne provient pas d’éléments autres que les nouveaux actifs ou l’ajustement des anciens actifs aux nouvelles conditions du marché, comme notamment les opérations de fusions ou d’acquisitions. Pour cela, les banques, dont le taux de croissance du bilan dépasse 50% au cours d’une année, sont exclues de l’échantillon.

Nous voulons mettre en évidence une sensibilité de la marge d’intérêt éventuellement différente par rapport aux taux de court terme et aux taux de long terme. Nous nous intéressons en particulier à la sensibilité de la marge d’intérêt au taux 1 an et au taux 10 ans. Ces séries de taux annuels sont extraites de Datastream. La volatilité de ces taux est mesurée à partir de l’écart-type des taux mensuels autour de leur moyenne annuelle.

Nous estimons maintenant la sensibilité de la marge d’intérêt à l’évolution des taux d’intérêt 1 an et 10 ans, tout d’abord en données de panel pour l’ensemble des établissements de crédit français puis en distinguant 4 panels de catégories juridiques de banques.

1) Normalité de la distribution de la richesse

La maximisation de l’espérance de l’utilité de la richesse de la banque adverse au risque revient à maximiser une fonction objectif, fonction des deux premiers moments de la distribution de la richesse (équation (2.3) page 86) :

Cette fonction objectif O peut être définie en utilisant la loi normale ou en approximant par un développement de Taylor à l’ordre 2 l’espérance de l’utilité de la richesse future.

2) Formes spécifiques d’une fonction d’utilité concave

Plusieurs fonctions d’utilité permettent d’exprimer les préférences de la banque en fonction des deux premiers moments de la distribution de probabilité de la variable cible de la banque, notamment les fonctions d’utilité quadratique, exponentielle négative, logarithmique et puissance. Nous nous intéressons ici uniquement aux deux fonctions d’utilité les plus couramment utilisées, la fonction quadratique de Von Neumann-Morgenstern et la fonction exponentielle négative.

1. Avoirs et engagements risqués

Etant donné que les fonds propres nets, F, sont exogènes, le vecteur des opérations que la banque cherche à déterminer est le suivant :

La contrainte d’équilibre du bilan impose :

avec (2.13)

Comme nous l’avons déjà précisé, maximiser l’espérance d’une fonction d’utilité exponentielle négative revient à maximiser la fonction objectif suivante :

(2.14)

où et sont respectivement le vecteur des taux espérés et la matrice des variances-covariances des taux associés aux opérations risquées du bilan.

Ce problème de maximisation s’écrit sous la forme d’un Lagrangien, tel que :

(2.15)

La solution du Lagrangien est donnée par l’expression matricielle suivante :

(2.16)

avec et

La solution est non linéaire et dépend de l’aversion absolue au risque b. Toutefois, pour que cette solution existe, la matrice G doit néanmoins satisfaire trois propriétés (voir Parkin [1970] pour les démonstrations de ces propriétés) :

Tout d’abord, la matrice G doit être symétrique de sorte que la sensibilité de l’actif i à une variation du taux de rendement de l’actif j soit égale à la sensibilité de l’actif j à une variation du taux de rendement de l’actif i ;

Ensuite, la somme de chacune des lignes et la somme de chacune des colonnes de G doit être nulle : et . En d’autres termes, la somme des ajustements des avoirs et des engagements engendrés par une variation d’un taux de rendement anticipée doit respecter la contrainte d’équilibre du bilan ;

Enfin, les éléments de la diagonale de G ne doivent pas être négatifs, de manière à ce qu’une hausse du taux de rendement d’un avoir (engagement) n’induise pas une baisse (hausse) de sa quantité.

2. Avoirs risqués, engagements non risqués

Parkin [1970] considère dans un second temps que la période retenue est tellement courte que le coût de l’emprunt est connu avec certitude alors que le taux de rendement des avoirs reste aléatoire. Dans ce cas, les variances et les covariances des engagements sont nulles. Les éléments de ce problème s’écrivent alors :

, , , , et

avec et

La fonction objectif (2.14) et la contrainte d’équilibre (2.13) deviennent respectivement :

(2.17)

(2.18)

Le Lagrangien correspondant à ce problème de maximisation sous contraintes est le suivant :

(2.19)

Les conditions du premier ordre s’écrivent :

Nous déduisons de la deuxième condition du premier ordre : et . Or ces deux relations ne sont valables que si . En réalité, l’inégalité est toujours vérifiée. Le coût de l’emprunt en dernier ressort étant supérieur à celui de l’emprunt interbancaire, il est optimal que l’emprunt en dernier ressort soit nul.

Dans ce cas, le Lagrangien devient :

(2.20)

La solution est alors :

Les propriétés de sont proches de celles de G quoique moins strictes. En effet, Z doit être symétrique et ses éléments diagonaux doivent être non négatifs. Toutefois, la somme de chacune des lignes et de chacune des colonnes ne nécessite pas d’être égale à zéro ce qui n’implique en aucun cas que la contrainte d’équilibre du bilan soit levée.

Le modèle de choix de portefeuille peut également être résolu sans spécifier l’expression de la fonction d’utilité.

1. Fonction objectif définie à partir de la loi normale

Pyle [1971] met en évidence les conditions qui garantissent l’activité d’intermédiation de la banque en fonction de la distribution multivariée des taux de rendement des avoirs et des engagements du bilan. Il maximise une fonction objectif exprimée uniquement en fonction de l’espérance et de la variance du profit de fin de période.

Le bilan qu’il considère est constitué de trois actifs, un sans risque () et deux risqués, un prêt () et un dépôt (). Le vecteur X des opérations du bilan est tel que. La banque est dotée d’une richesse initiale K.

La contrainte d’équilibre du bilan est alors :

(2.21)

Les taux associés aux actifs du bilan étant notés , et , le profit s’écrit :

Si nous substituons l’expression de , déduite de la contrainte d’équilibre du bilan, dans l’expression du profit, cette dernière devient :

L’espérance et la variance du profit sont définies respectivement par les relations suivantes :

(2.22)

(2.23)

avec et , les primes de risque sur les prêts et sur les dépôts, calculées comme l’excès de rendement respectivement des taux moyens des prêts (T₁) et des dépôts (T₂) par rapport au taux sans risque (t₀),

, et , les variances et la covariance des taux.

Pyle maximise une fonction objectif strictement concave, , par rapport à et à  :

Les quantités optimales des crédits et des dépôts, déduites des deux relations précédentes, sont alors :

(2.24)

(2.25)

avec puisque la fonction objectif de la banque dépend positivement du rendement et négativement du risque.

Le dénominateur des solutions optimales est positif tant que les taux des prêts et des dépôts ne sont pas parfaitement et positivement corrélés.

Lorsqu’un actif sans risque est présent dans le bilan, l’activité d’intermédiation de la banque est assurée si et seulement si :

Ainsi, que les rendements entre les prêts et les dépôts soient indépendants, , ou dépendants, , les conditions nécessaires et suffisantes de l’intermédiation sont une prime de risque sur les prêts positive et une prime de risque sur les dépôts négative.

De plus, l’activité d’intermédiation est d’autant plus profitable que :

• la prime de risque sur les prêts est plus élevée et que celle sur les dépôts est plus faible,
• le coefficient de corrélation entre les rendements des prêts et des dépôts est plus élevé,
• l’écart-type des rendements des dépôts est plus élevé et celui sur les prêts est plus faible.

2. Fonction objectif définie à partir de l’approximation de la loi normale

Dans les modèles de choix de portefeuille canoniques, la banque détient un portefeuille de m actifs risqués qu’elle peut acheter/vendre à découvert, et donc qui peuvent être positifs ou négatifs. Cette hypothèse permet de ne pas imposer de contraintes d’inégalité, qui nécessiteraient une résolution avec la méthode de Khun et Tucker. Les engagements ne sont pas explicitement pris en compte dans ce cas de référence. Le problème de choix de portefeuille est résolu en minimisant le risque pour un niveau de rendement donné, tel que :

Min (2.26)

pour un niveau de rendement donné : (2.27)

et la contrainte d’équilibre du bilan : (2.28)

avec , la variance du rendement du capital,

, i≠j, i=1…m, la covariance entre le taux de l’opération i et celui de l’opération j,

, le rendement du capital espéré,

, i=1…m, la part des fonds propres (K>0) investie dans chaque actif i.

Le problème de choix de portefeuille de la banque peut être exprimé sous la forme du Lagrangien suivant :

(2.29)

avec , , le taux marginal de transformation entre le risque et le rendement sur la frontière d’efficience : .

La résolution du Lagrangien procure d’une part, le vecteur solution qui contient l’ensemble des combinaisons d’avoirs et d’engagements risqués qui répond au critère d’efficience dans l’espace espérance-variance et d’autre part, l’équation de la frontière d’efficience, qui permet de déterminer le taux de transformation du risque au rendement, .

La solution optimale est obtenue en égalisant le taux marginal de transformation du risque au rendement le long de la frontière d’efficience au taux marginal de substitution du risque au rendement, obtenu en approximant la fonction objectif par la loi normale (équation (2.8)).

Tarazi [1996] introduit le coût des engagements dans le modèle de choix de portefeuille de référence présenté précédemment (équations (2.26), (2.27) et(2.28)). La banque détient toujours un portefeuille de m avoirs risqués mais emprunte pour un montant X_m+1. La part des fonds propres investie dans les engagements est donc x_m+1.

La contrainte de bilan (2.28) devient :

(2.30)

Tarazi suppose dans un premier temps que le coût des engagements est certain puis dans un second temps qu’il devient incertain.

Lorsque le coût des engagements est certain, l’équation (2.27) qui exprime le rendement espéré devient :

(2.31)

avec t_m+1 , le coût certain de l’engagement.

La frontière d’efficience de ce problème de choix de portefeuille est linéaire : une augmentation du coût de l’engagement conduit une banque peu adverse au risque à prendre plus de risque.

Avec un coût des engagements incertain, le bilan comprend m+1 opérations risquées et non plus m. Le risque et le rendement du capital sont définis par les deux relations suivantes :

(2.32)

et (2.33)

avec T_m+1, le coût espéré des engagements.

Dans ce cas, la frontière d’efficience n’est plus une droite mais une courbe concave. Un accroissement du coût espéré des engagements incite la banque peu adverse au risque à choisir une combinaison qui réduit l’espérance de sa richesse future. Toutefois, par rapport à la situation où le coût des engagements est certain, une covariance élevée entre le rendement des avoirs et le coût des engagements peut conduire la banque, pour un même niveau d’aversion au risque à opter pour une combinaison qui procure un rendement espéré plus élevé.

C’est cette dernière approche qui a été retenue dans la littérature pour étudier l’effet sur le rendement espéré et le risque de contraintes réglementaires imposées par les autorités de contrôle.

1. Pondérations indépendantes du risque de marché

Kim et Santomero [1988] et Tarazi [1996] intègrent dans le modèle de choix de portefeuille une contrainte de capital différencié de type ratio Cooke. Une telle contrainte affecte le levier d’endettement mais également la structure du portefeuille. La détention d’actifs risqués devient alors plus coûteuse car elle exige plus de fonds propres que les actifs peu risqués. Le renforcement d’un tel ratio devrait décourager les banques d’augmenter la part des actifs risqués dans leur bilan.

Le ratio de capital différencié est défini par la relation suivante :

avec w_i≥0 et k_p≤1 (2.42)

avec w_i , i=1…m, les pondérations associées respectivement aux m actifs.

Les autorités peuvent donc agir sur k_p et sur les pondérations w_i .

Plus k_p est faible, plus le ratio de capital est contraignant pour les banques : par exemple, =1 et =12.5 exigent respectivement que 100% et 8% des fonds propres soient au moins égaux au montant minimum de fonds propres requis pour supporter le risque de chaque actif du bilan.

De même, plus les pondérations w_i sont élevées, plus le montant de fonds propres à constituer pour couvrir le risque associé à l’actif x_i doit être élevé. C’est aux actifs les plus risqués que seront attribuées les pondérations les plus élevées.

La frontière d’efficience issue de ce problème de choix de portefeuille en présence d’une contrainte de capital différencié n’est pas linéaire. De plus, l’effet de la mise en place de cette contrainte dépend de l’aversion au risque de la banque.

Ainsi, une banque faiblement adverse au risque n’hésitera pas à privilégier les actifs les plus risqués pour compenser la baisse de sa rentabilité espérée engendrée par l’accroissement des fonds propres. Pour que la contrainte de capital différencié soit efficace, il faudrait attribuer des pondérations élevées aux actifs les plus rentables et les plus risqués de façon à ce que la banque ne soit pas incitée à les privilégier.

Une banque neutre vis-à-vis du risque aura le même comportement qu’une banque peu adverse au risque puisqu’elle cherche à avoir une espérance de rendement la moins faible possible.

En revanche, une banque fortement adverse au risque n’aura pas ce comportement. La mise en place de la contrainte de capital différencié sera alors efficace.

L’efficacité de cette contrainte dépend donc des pondérations octroyées à chaque actif risqué mais également de l’aversion au risque de la banque (Kim et Santomero [1988]). De plus, la non linéarité de la frontière d’efficience permet à la banque d’accroître son rendement espéré quel que soit le niveau de risque supplémentaire à supporter. Pour que la contrainte de capital différencié soit efficace, il faudrait que la frontière d’efficience soit linéaire voire horizontale (Tarazi [1996]).

Kim et Santomero déterminent des pondérations optimales qui rendent la contrainte de capital différencié efficace. Pour cela, la contrainte doit être indépendante de l’aversion au risque de la banque.

Les pondérations optimales associées à chaque actif doivent être telles que le rendement anticipé du capital soit borné par  :

(2.43)

où est le rendement espéré du capital satisfaisant la contrainte de faillite^Note24. ,

T₀ est le coût des dépôts.

Les pondérations du risque pour chaque type d’actifs doivent être telles que la banque n’ait pas la possibilité d’augmenter le rendement anticipé du capital au-delà de en exploitant un unique actif i. La contribution de chaque actif au rendement est donc limitée par . Ainsi, l’imposition de ces pondérations doit permettre d’équilibrer les rendements nets des différents actifs par unité de capital. Les pondérations optimales sont définies par les relations suivantes :

si (2.44)

si (2.45)

Ces pondérations optimales sont donc fonction des rendements anticipés des actifs , du coût des dépôts , de la structure de la matrice des variances-covariances et de la probabilité maximale de faillite tolérée par les régulateurs. En revanche, ces pondérations ne dépendent pas de l’aversion au risque de la banque.

On constate que plus le rendement d’un actif est élevé, plus la pondération associée à cet actif est importante. En d’autres termes, plus un actif est rémunérateur, plus il est risqué :

si

De plus, si le régulateur veut diminuer la limite supérieure de la probabilité de faillite, il va augmenter le taux de capitalisation et donc les pondérations :

Finalement, l’imposition d’une contrainte de capital différencié conduit toujours la banque à réallouer son portefeuille en faveur d’actifs plus risqués afin d’augmenter le rendement brut des actifs. Mais l’accroissement du capital qui résulte de la contrainte de capital différencié n’engendre pas d’accroissement du rendement des fonds propres, puisque celui-ci est borné. Par conséquent, la probabilité de faillite des banques, mêmes les moins adverses au risque, n’augmente pas. L’objectif des régulateurs de limiter la probabilité de faillite des banques est donc atteint.

Tarazi [1996] montre que pour que la contrainte soit efficace, il faudrait que toute augmentation du risque n’ait aucun effet sur le rendement espéré ou qu’une variation infinitésimale du rendement espéré engendre un accroissement infini du risque. Ceci revient à avoir un taux marginal de transformation du risque au rendement qui tend vers l’infini et donc une frontière efficiente horizontale, telle que :

Néanmoins, une valeur infinie de signifie que la frontière d’efficience n’est au plus que quasi linéaire. La quasi-linéarité de la frontière d’efficience reflète la quasi neutralité au risque de la banque. Dans ce cas rien n’empêche la banque d’accroître infiniment son risque pour compenser la diminution du rendement espéré du capital imposée par les autorités. La contrainte de capital différencié n’est donc pas efficace dans le cas d’une banque neutre au risque.

2. Pondérations liées au risque de marché

Rochet [1992] met en évidence l’importance de retenir des pondérations en fonction du type de risque dans une contrainte de capital différencié.

Rochet [1992] considère une banque dont le bilan est composé de m avoirs risqués (X_i , i=1…m), d’un engagement risqué (X_m+1 ) et d’un engagement sans risque (X₀ ). Contrairement aux modèles présentés précédemment, le modèle est organisé en deux périodes.

En t =0, la banque choisit la composition de son bilan. La contrainte d’équilibre du bilan est telle que :

(2.46)

où est la valeur du capital en t =0.

En t =1 tous les actifs sont liquidés, la contrainte d’équilibre du bilan devient :

où sont les taux aléatoires,

est le coût des dépôts qui comprend les coûts opératoires, les intérêts payés aux déposants et éventuellement une prime d’assurance-dépôts. La fonction de coût est strictement croissante, et ,

est la valeur finale du capital en t =1.

En exprimant l’actif sans risque en fonction des autres opérations du bilan, la valeur finale du capital s’écrit :

L’espérance et la variance de la valeur finale du capital sont définies par les relations suivantes :

(2.47)

(2.48)

La banque maximise l’espérance de l’utilité de la valeur de fin de période du capital :

(2.49)

avec N, la fonction cumulative gaussienne telle que :

où et sont l’espérance et l’écart-type de la richesse de fin de période.

Lorsque le capital n’est pas contraint, la fonction objectif et la probabilité de faillite ne dépendent que de l’espérance et de la variance du rendement du capital.

En introduisant une contrainte sur le capital différencié inférieure à l’unité, telle que l’équation (2.42) , Rochet montre que le choix des pondérations (β_i) en fonction du risque est crucial :

• Si les pondérations sont proportionnelles au risque associé à chaque actif, mesuré par le vecteur ( étant la matrice des variances-covariances), l’allocation des actifs devient efficiente.
• En revanche, comme l’ont montré Kim et Santomero [1988], si les pondérations sont uniquement liées au risque de crédit, elles peuvent induire une allocation des actifs qui n’est plus efficiente bien que le risque de faillite soit toujours limité : le montant total des actifs risqués diminue mais le portefeuille est réalloué en privilégiant les actifs les plus risqués aux dépens des actifs les moins risqués. L’effet total engendre alors un accroissement du risque car il semble que l’effet réallocation domine l’effet taille.

Les modèles de maximisation à court terme de l’espérance de l’utilité de la richesse de fin de période, présentés dans cette revue de la littérature se distinguent par leur fonction objectif, la variable cible et les contraintes réglementaires retenues. Plusieurs spécificités quant à leur modélisation ont été mises en évidence.

La fonction objectif peut être déterminée en considérant une forme spécifique ou une forme générale d’une fonction d’utilité concave. Lorsqu’on choisit de spécifier la fonction d’utilité de la banque, il est préférable de retenir une fonction d’utilité exponentielle négative, comme le fait Parkin [1970], qui satisfait les relations requises par l’aversion absolue au risque et l’aversion relative au risque vis-à-vis de la richesse.

Plusieurs contraintes réglementaires peuvent être modélisées dans les modèles de portefeuille : les contraintes de réserves obligatoires, de structure du portefeuille, de levier d’endettement, de capital simple ou de capital différencié.

Compte tenu des enseignements que nous avons tirés de cette revue de la littérature, nous proposons un modèle de choix de portefeuille qui permet de modéliser un outil de gestion du risque de taux d’intérêt tout en tenant compte de certaines contraintes réglementaires.

1. Réserves obligatoires

Les autorités de contrôle imposent une contrainte de réserves obligatoires, que nous retrouvons dans Hart et Jaffee [1974]. Cette contrainte impose que le montant des réserves obligatoires représente un pourcentage des ressources qui sont ont une durée initiale inférieure ou égale à deux ans. Dans notre modèle, l’assiette des réserves obligatoires comprend uniquement les dépôts à vue. Cette contrainte est alors exprimée par la relation suivante :

, (2.56)

avec les réserves obligatoires du bilan,

les dépôts à vue du bilan,

le taux de réserves obligatoires imposé par les autorités.

2. Contrainte de capital différencié

Nous considérons une contrainte de capital différencié de type ratio Cooke où seul le risque de crédit est pris en compte. Dans ce cas, il détermine le montant de fonds propres nécessaire pour se garantir contre le risque de crédit auquel est exposée la banque. Faute de pouvoir disposer de données plus fines, nous retenons ici une définition du ratio de capital qui nous est propre, qui fait dépendre le risque de contrepartie de la durée de l’opération concernée.

La solvabilité de la banque est assurée si le rapport entre le montant des fonds propres nets et l’ensemble des risques de crédit du bilan est supérieur ou égal au seuil , fixé par les autorités de contrôle bancaire :

, (2.57)

avec , les fonds propres du bilan,

et , les pondérations traduisant le risque de crédit avec . Cette inégalité traduit le fait que le risque est plus élevé pour les échéances les plus éloignées. Le risque de défaillance est en effet plus probable à long terme qu’à court terme,

, les crédits de court terme du bilan,

, les crédits de long terme du bilan,

, le niveau du ratio de solvabilité imposé par les autorités. Plus est élevé, plus le montant des fonds propres alloués au risque de crédit est important.

2. Contrainte de liquidité

Le coefficient de liquidité doit permettre à la banque de faire face aux demandes de remboursement des déposants. Les liquidités de court terme doivent donc être au moins égales aux exigibilités de même terme.

Nous considérons que les liquidités et les exigibilités de court terme de la production nouvelle ne sont constituées respectivement que de titres et de dépôts à vue. La contrainte de liquidité est alors exprimée par la relation suivante :

(2.58)

avec , et respectivement les titres, les dépôts à vue et les fonds propres du bilan.