Einstein equations (linearized)

Example from Pommaret, J.-F. Dualite differentielle et applications, C.R. Acad. Sci. Paris, Serie I 320 (1995), pp.1225-1230.

Let us introduce the following Ore algebra A of partial differential operators

A=OreAlgebra[Der[t], Der[(Subscript[x, 1])],Der[(Subscript[x, 2])],Der[(Subscript[x, 3])]]

and the matrix R of partial differential operators, which defines system

R=(({{((Der[(Subscript[x, 2])])^2)+((Der[(Subscript[x, 3])])^2)-((Der[t])^2), ((Der[(Subscript[x, 1])])^2), ((Der[(Subscript[x, 1])])^2), -((Der[(Subscript[x, 1])])^2), -2Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], 0, 0, -2Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, 2Der[(Subscript[x, 1])]Der[t]}, {((Der[(Subscript[x, 2])])^2), ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)+((Der[(Subscript[x, 3])])^2)-((Der[t])^2), ((Der[(Subscript[x, 2])])^2), -((Der[(Subscript[x, 2])])^2), -2Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], -2Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, 0, 2Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], 0}, {((Der[(Subscript[x, 3])])^2), ((Der[(Subscript[x, 3])])^2), ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)+((Der[(Subscript[x, 2])])^2)-((Der[t])^2), -((Der[(Subscript[x, 3])])^2), 0, -2Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], 2Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], -2Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, 0}, {((Der[t])^2), ((Der[t])^2), ((Der[t])^2), ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)+((Der[(Subscript[x, 2])])^2)+((Der[(Subscript[x, 3])])^2), 0, 0, -2Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], 0, -2Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], -2Der[(Subscript[x, 1])]Der[t]}, {0, 0, Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], ((Der[(Subscript[x, 3])])^2)-((Der[t])^2), -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, -Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], Der[(Subscript[x, 2])]Der[t]}, {Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, 0, -Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)-((Der[t])^2), Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], 0}, {Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], 0, 0, 0, -Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)+((Der[(Subscript[x, 2])])^2), -Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], -Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])]}, {0, Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], -Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], ((Der[(Subscript[x, 2])])^2)-((Der[t])^2), 0, Der[(Subscript[x, 3])]Der[t]}, {Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], 0, Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], 0, -Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], -Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], -Der[(Subscript[x, 2])]Der[(Subscript[x, 3])], 0, ((Der[(Subscript[x, 1])])^2)+((Der[(Subscript[x, 3])])^2), -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])]}, {0, Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], Der[(Subscript[x, 1])]Der[t], 0, -Der[(Subscript[x, 2])]Der[t], 0, -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 3])], -Der[(Subscript[x, 3])]Der[t], -Der[(Subscript[x, 1])]Der[(Subscript[x, 2])], ((Der[(Subscript[x, 2])])^2)+((Der[(Subscript[x, 3])])^2)}}));
MatrixForm[R=ToOrePolynomial[R,A]]

and the left A-module, finitely presented by R, defined by M = (A^(1×10))/(A^(1×10))R.

Let us compute the adjoint of R:

MatrixForm[Radj=Involution[R,A]]

Let us check whether or not M is torsion-free:

Timing[MatrixForm/@({Ann,Rp,Q}=Exti[Radj,A,1])]

We obtain 20 autonomous elements defined by Rp.

aut=AutonomousElements[R,Table[(Subscript[Ω, i])[t,(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])],{i,10}],T,A]

Finally we note that the autonomous elements T[i]’s satisfy the same equation ((Subscript[D, t]^2)-(Subscript[D, (Subscript[x, 1])]^2)-(Subscript[D, (Subscript[x, 2])]^2)-(Subscript[D, (Subscript[x, 3])]^2)) T[i] = 0 (D’Alembert’s equation).