* Univ. Limoges, IRCER, UMR 7315, F-87000 Limoges, damien.andre@unilim.fr
définir le système matériel (S)
modéliser les actions mécaniques extérieures appliquées au système (S)
modéliser les liaisons mécaniques entre l'extérieur (ˉS) et le système (S)
exprimer le torseur des actions mécaniques transmissibles pour chacune des liaisons
exprimer les efforts extérieurs appliqués par (ˉS) sur le système (S)
formuler des hypothèses simplificatrices telles que les plans de symétrie, etc...
isoler le système (S) et faire le bilan des actions mécaniques extérieures
appliquer le théorème de la résultante et du moment statique
résoudre le système d'équations
Si le système matériel (S) est composé de plusieurs solides, il est possible de répéter ces étapes pour chacun des solides composant (S).
L'objectif de cet exercice est de calculer les inconnues de liaisons entre la poutre en L et le sol au niveau de la liaison encastrement en connaissant le poids des panneaux et les distances géométriques
→ 3 systèmes matériels : la barre en L (1∪2) et le sol (0)
→ un référentiel galiléen R(O,→x,→y) attaché à (0)
→ les poids des panneaux (p1) et (p2) agissent en C et B
Si on suppose le système matériel (S)=(1∪2), alors la liaison mécanique avec (ˉS) est une liaison encastrement avec le sol (0) au point O.
Le tableau 1 du polycop de cours liste les torseurs des actions mécaniques transmissibles des liaisons courantes
{T0→1}O={XOYOZOLOMONO}O{XOYOZOLOMONO}(→x,→y,→z)={→R0→1=XO →x+YO →y+ZO →z→MO,0→1=LO →x+MO →y+NO →z}O{→R0→1=XO →x+YO →y+ZO →z→MO,0→1=LO →x+MO →y+NO →z}
Si on suppose le système matériel (S)=(1∪2), alors les efforts extérieurs sont ceux exercés par le poids des panneaux notés (p1) et (p2) sur la structure (2) aux points B et C.
{Tp1→2}C={0F10000}C{0F10000}(→x,→y,→z)={→Rp1→2=F1 →y→MC,p1→2=→0}C{→Rp1→2=F1 →y→MC,p1→2=→0}
{Tp2→2}B={0F20000}B{0F20000}(→x,→y,→z)={→Rp2→2=F2 →y→MB,p2→2=→0}B{→Rp2→2=F2 →y→MB,p2→2=→0}
→ considérez les variables dans les composantes des torseurs d'action mécanique comme des réels positifs ou négatifs. Le signe sera affecté lors de l'application numérique. F1∈R
→ considérez les variables décrivant les longueurs comme des réels positifs. l4∈R+
Il est supposé dans ce problème un plan de symétrie (O,→x,→y)
→ Toutes les résultantes sont dans plan de symétrie (O,→x,→y). Les composantes des résultantes selon →z sont donc nulles.
→ Tous les moments sont perpendiculaires au plan de symétrie (O,→x,→y). Les composantes des moments selon →x et →y sont donc nulles.
\require{cancel} \torseur{\T_{0 \rightarrow 1}}_{O} = \torseurColonne{O}{X_{O} \newline Y_{O} \newline \cancel{Z_{O}}}{\cancel{L_{O}} \newline \cancel{M_{O}} \newline N_{O}}{\xyz} = \torseurLigne{O}{X_{O}\ \vec{x} + Y_{O}\ \vec{y}}{N_O\ \vec{z}}
Théorème de la résultante statique appliqué au système matériel (S)=(1\cup 2)
\vec{R}_{0 \rightarrow 1} + \vec{R}_{p_{1} \rightarrow 2} + \vec{R}_{p_{2} \rightarrow 2} = \vec{0}
Théorème de la résultante statique appliqué au système matériel (S)=(1\cup 2)
\vec{R}_{0 \rightarrow 1} + \vec{R}_{p_{1} \rightarrow 2} + \vec{R}_{p_{2} \rightarrow 2} = \vec{0}
\left( X_O \right) \vec{x} + \left( Y_O + F_1 + F_2 \right) \vec{y} = \vec{0}
Les efforts de liaison sont donc : \boxed{X_{O} = 0} \quad \text{ et } \quad \boxed{Y_{O} = -F_{1} - F_{2}}
Théorème du moment statique en O appliqué au système (S)=(1\cup 2)
\vec{M}_{O, 0 \rightarrow 1} + \vec{M}_{O, p_{1} \rightarrow 2} + \vec{M}_{O, p_{2} \rightarrow 2} = \vec{0}
Transport de (p_{1} \rightarrow 2) \begin{aligned} \vec{M}_{O, p_{1} \rightarrow 2} &= \vec{M}_{C, p_{1} \rightarrow 2} + \vec{OC}\wedge\vec{R}_{p_{1} \rightarrow 2} \newline &= \vec{0} + \left[ l_{1}\ \vec{y} - (l_{2}+l_{3}) \vec{x} \right] \wedge F_{1}\ \vec{y} \newline &= - (l_{2} + l_{3})F_{1}\ \vec{z} \end{aligned}
Transport de (p_{2} \rightarrow 2) \begin{aligned} \vec{M}_{O, p_{2} \rightarrow 2} &= \vec{M}_{B, p_{2} \rightarrow 2} + \vec{OB}\wedge\vec{R}_{p_{2} \rightarrow 2} \newline &= \vec{0} + \left[ l_{1}\ \vec{y} - l_{2}\ \vec{x}\right] \wedge F_{2}\ \vec{y} \newline &= - l_{2} F_{2}\ \vec{z} \end{aligned}
Maintenant, nous pouvons faire la somme \vec{M}_{O, 0 \rightarrow 1} + \vec{M}_{O, p_{1} \rightarrow 2} + \vec{M}_{O, p_{2} \rightarrow 2} = \vec{0}
Avec \begin{aligned} \vec{M}_{O, p_{1} \rightarrow 2} &= - (l_{2} + l_{3})F_{1}\ \vec{z} \newline \vec{M}_{O, p_{2} \rightarrow 2} &= - l_{2} F_{2}\ \vec{z} \newline \vec{M}_{O, 0 \rightarrow 1} &= N_{O}\ \vec{z} \newline \end{aligned}
Ce qui donne \left[ N_{O} - (l_{2}+l_{3})F_{1} - l_{2} F_{2} \right] \vec{z} = \vec{0}
Et donc \boxed{N_{O} = (l_{2} + l_{3})F_{1} + l_{2} F_{2}}
Connaissant les masses des panneaux p_{1} et p_{2} et donc les valeurs des forces F_{1} et F_{2} ainsi que les longueurs l_{2} et l_{3}, il est donc possible d'en déduire les inconnues des efforts de liaison de la liaison encastrement de 0 \rightarrow 1, soit :
\begin{aligned} \torseur{\T_{0 \rightarrow 1}}_{O} &= \torseurColonne{O}{0 \newline -F_{1}-F_{2} \newline 0}{0 \newline 0 \newline (l_{2} + l_{3})F_{1} + l_{2} F_{2}}{\xyz} \newline \end{aligned}
Ce qui correspond à l'écriture en ligne suivante : \boxed{\torseur{\T_{0 \rightarrow 1}}_{O} = \torseurLigne{O}{- (F_{1}+F_{2}) \vec{y}}{\left[ \left(l_{2} + l_{3}\right)F_{1} + l_{2} F_{2}\right]\vec{z}}}