Attention, ce qui va suivre n'est pas parfaitement rigoureux. Vous ne DEVEZ PAS généraliser les formules. Celles-ci ne sont valables que pour le cas de chargement de traction simple.

Qu'est-ce qu'une déformation

Lorsqu'un solide subit une action mécanique, celui-ci se déforme…

… plus ou moins sévèrement !

Une déformation traduit un changement de forme et/ou de longueur d'un objet

Qu'est-ce qu'une déformation ?

🛈 Dans le cas des céramiques, ces déformations sont généralement très faibles…

Qu'est-ce qu'une déformation ?

Regardons de près un essai de traction (▶) par corrélation d'image

Qu'est-ce qu'une déformation ?

Regardons de près un essai de traction (par corrélation d'image)

Qu'est-ce qu'une déformation ?

Voyons l'animation obtenue lorsqu'on juxtapose les photos obtenues

Qu'est-ce qu'une déformation ?

Il est alors possible de rendre compte des déformations par juxtaposant une grille. Sur cette animation les déplacements sont exagérés par un facteur 10.

Qu'est-ce qu'une déformation ?

on observe…

Qu'est-ce qu'une déformation ?

On définie alors les déformations longitudinale $\varepsilon_l$ et transversale $\varepsilon_t$ comme :

$$\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l_0}\quad \text{et}\quad \varepsilon_t = \frac{\Delta t}{t_0}$$

Ces formules simples ne sont valables que dans le cas de l'essai de traction car les déformations sont uniformes : la grille reste rectangulaire et les cellules sont égales.

Qu'est-ce qu'une déformation ?

Ce qui n'est pas le cas avec un essai de flexion par exemple

Le coefficient de Poisson

Dans l'essai de traction, on observe qu'il existe un coefficient de proportionnalité entre les déformations transversales $\varepsilon_t$ et longitudinales $\varepsilon_l$.

Ce coefficient s'appelle le coefficient de Poisson ($\nu$): $$\nu = -\frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_l} \quad \nu \in [-1\ ;0,5]$$

Le coefficient de poisson $\nu$ est une caractéristique matériau. Pour les céramiques, celui-ci est compris entre 0,15 et 0,25.

Qu'est-ce qu'une contrainte ?

Les contraintes sont les forces infinitésimales (surfaçiques) qui s'opposent aux déformations et assurent la cohésion du matériau.

• L'unité des contraintes est le Pa (les ingénieurs utilisent le MPa).
• Cette unité permet de rendre compte de la résistance des matériaux ($\sigma_f$).
• C'est Léonard de Vinci (1452-1519) qui a mis en lumière ce concept de résistance relation en testant des fils de cuivre en traction.

Notons $P_f$ le poids nécessaire pour rompre un fil. De Vinci observe que ↴

• le poids $P_f$ est indépendant de la longueur du fil $l$
• le poids $P_f$ est proportionnel au carré du rayon du fil $r$, soit:

$$P_f \propto r^2$$

Si on suppose l'existence d'une caractéristique intrinsèque de résistance du matériaux ($\sigma_f$) alors on peut poser que :

$$\frac{P_f}{r^2} = K \propto \sigma_f$$

On remarque aisément que $\sigma_f$ est bien homogène à une pression.

Si on suppose l'existence de contrainte interne ($\sigma$) dans le matériau,
alors il y a rupture si :

$$\sigma > \sigma_f \quad \text{avec} \quad \sigma_f \propto \frac{P_f}{r^2}$$

où $\sigma$ est également homogène à une pression.
En ce cas, il est logique de supposer que :

$$\sigma \propto \frac{P}{r^2}$$

Qu'est-ce qu'une contrainte ?

Principe de coupure fictive mettant en lumière les efforts internes de cohésion

Un peu plus tard, Galilée (1564-1642) réalisa la même expérience pour une configuration de flexion.

Toutefois, ces résultats ne furent pas concluant 😖...

Relation contrainte déformation

En s'aidant des relations précédentes, on peut tracer $\sigma = f(\varepsilon_l)$ pour un essai de traction. Dans le cas d'une céramique, on obtient :

Relation contrainte déformation

• Ce coefficient de proportionnalité entre $\sigma$ et $\varepsilon_l$ s'appelle le module de Young $E$
• Ce module est considéré comme une caractéristique matériau
• $E$ est généralement exprimé en GPa
• Les céramiques sont des matériaux rigides → $E\in[20, 400]$ GPa

Ce module permet d'énoncer la loi de Hooke en traction simple : $\boxed{\sigma = E\times \varepsilon_l}$

Formules clés pour la traction simple calcul des déformations

$$\boxed{\varepsilon_l = \frac{\Delta l}{l_0}}\quad \text{et}\quad \boxed{\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{t_0}}$$

$\Delta l$ et $\Delta t$ sont les élongations transversales et longitudinales de l'éprouvette
  → exprimées en m

$l_0$ et $t_0$ sont les longueurs initiales avant déformation de l'éprouvette
  → exprimées en m

$\varepsilon_l$ et $\varepsilon_t$ sont les déformations longitudinales et transversales
  → exprimées en ?????

Formules clés pour la traction simple calcul de la contrainte normale

$$\boxed{\sigma = \frac{F}{S}}$$

$F$ est la force appliquée sur l'éprouvette
  → exprimées en N

$S$ est la section de l'éprouvette
  → exprimées en m2

$\sigma$ est la contrainte (normale)
  → exprimées en Pa

Formules clés pour la traction simple Loi de Hooke

Loi de Hooke modélise le comportement des céramiques (solides élastiques)

$$\boxed{\sigma = E\times \varepsilon_l \quad \text{et}\quad \varepsilon_t = -\nu \times \varepsilon_l}$$

$E$ est le module de Young
   → exprimées en GPa
   → c'est une caractéristique matériau

$\nu$ est le coefficiant de Poisson
   → sans unité
   → c'est une caractéristique matériau

$E$ et $\nu$ sont les modules d'élasticité qui caractérisent le comportement mécaniques des matériaux élastiques !

Et voila !

Des questions ?