Auteur : Pierre Dusart
Date de soutenance : 26 mai 1998
Titre : Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers
Jury : D. Duval (Prés.), F. Dress (Rap.), J.-L. Nicolas (Rap.), O. Ramaré, H. Smati, G. Robin (Dir.)
Document : Thèse (PDF)
Résumé : Les nombres entiers supérieurs à 2 se décomposent en deux grandes classes disjointes : les nombres premiers et les nombres composés. Le travail présenté s'articule autour de la fonction p (x) qui compte le nombre de premiers inférieurs à x. Depuis que le théorème des nombres premiers a été démontré, il y a un peu plus de cent ans, nous connaissons un équivalent de p(x) pour x tendant vers l'infini. Nous démontrons un encadrement précis de p(x) ainsi qu'une estimation pour les nombres premiers par l'intermédiaire des fonctions de CHEBYSHEV. Nous nous appuyons sur des méthodes proposées par ROSSER & SCHOENFELD (1975). Dans un deuxième temps, nous étudions sur quels domaines la fonction p(x) possède la propriété de sous-additivité p(x+y) £ p(x)+p(y). Cette propriété est pourtant incompatible avec une généralisation des nombres premiers jumeaux : la conjecture des k-uples. Nous exhibons un k-uple admissible super-dense. Enfin, poursuivant le chemin tracé par Mc CURLEY (1984) puis RAMARE & RUMELY (1996), nous donnons des estimations des fonctions de CHEBYSHEV dans les progressions arithmétiques. Pour finir, nous proposons un algorithme de calcul exact de p(x) jusqu'à x = 1020 dans les progressions arithmétiques basé sur la notion de crible combinatoire (crible de MEISSEL-LEHMER (1870)) plus efficace que le crible d'ERATOSTHENE (200 avant JC).
Mots-clés : Encadrement des fonctions y, q et p et du kième nombre premier ; calcul exact de p(x;k,l) ; nombre premier.