Résumé : Les nombres entiers supérieurs à 2 se décomposent en deux grandes classes disjointes : les nombres premiers et les nombres composés. Le travail présenté s'articule autour de la fonction p (x) qui compte le nombre de premiers inférieurs à x. Depuis que le théorème des nombres premiers a été démontré, il y a un peu plus de cent ans, nous connaissons un équivalent de p(x) pour  x tendant vers l'infini. Nous démontrons un encadrement précis de p(x) ainsi qu'une estimation pour les nombres premiers par l'intermédiaire des fonctions de CHEBYSHEV. Nous nous appuyons sur des méthodes proposées par ROSSER & SCHOENFELD (1975). Dans un deuxième temps, nous étudions sur quels domaines la fonction p(x) possède la propriété de sous-additivité p(x+y) £ p(x)+p(y). Cette propriété est pourtant incompatible avec une généralisation des nombres premiers jumeaux : la conjecture des k-uples. Nous exhibons un k-uple admissible super-dense. Enfin, poursuivant le chemin tracé par Mc CURLEY (1984) puis RAMARE & RUMELY (1996), nous donnons des estimations des fonctions de CHEBYSHEV dans les progressions arithmétiques. Pour finir, nous proposons un algorithme de calcul exact de p(x) jusqu'à x = 10²⁰ dans les progressions arithmétiques basé sur la notion de crible combinatoire (crible de MEISSEL-LEHMER (1870)) plus efficace que le crible d'ERATOSTHENE (200 avant JC).

Mots-clés : Encadrement des fonctions ψ, θ, π et du k-ième nombre premier ; calcul exact de π(x; k; l) ; nombre premier.

Résumé :  The set of positive integers can be decomposed into two large disjointed classes: the prime numbers and the composite numbers. The present work deals with the p(x) function which counts the number of primes not greater than x. For large x, a function equivalent to p(x) has been known for a hundred years, since when the prime number theorem was shown. We find sharper bounds for p(x) and estimates for prime numbers through the instrumentality of Chebyshev's functions. We lean on methods proposed by Rosser & Schoenfeld (1975). In a second part, we study on which domains the function p(x) has the property of under-additivity p(x+y) £ p(x)+p(y). This property is nevertheless incompatible with a generalization of the twin primes conjecture: the k-uple conjecture. We give an admissible super-dense k-uple. Next, following the ideas of Mc Curley (1984), and then Ramare & Rumely (1996), we give estimates for the Chebyshev's functions in arithmetic progressions. Finally we propose an algorithm for exact computation of p(x) in arithmetic progressions based on combinatorial sieve notion (sieve of
Meissel-Lehmer (1870)), which is faster than the Eratosthenes sieve (200 B.C.).