Date de soutenance : 26 mai 1998
Titre : Autour de la fonction qui compte le
nombre de nombres premiers
Jury : D. Duval (Prés.), F. Dress (Rap.),
J.-L. Nicolas (Rap.), O. Ramaré, H. Smati,
G. Robin (Dir.)
Résumé
: Les nombres entiers supérieurs à 2 se décomposent
en deux grandes classes disjointes : les nombres premiers et les
nombres composés. Le travail présenté s'articule autour de la fonction p (x) qui
compte le nombre de premiers inférieurs à x. Depuis
que le théorème des nombres premiers a été démontré, il y a un peu plus
de cent ans, nous connaissons un équivalent de p(x) pour
x tendant vers l'infini. Nous démontrons
un encadrement précis de p(x)
ainsi qu'une estimation pour les nombres premiers par l'intermédiaire
des fonctions de CHEBYSHEV. Nous nous appuyons sur des méthodes
proposées par ROSSER &
SCHOENFELD (1975). Dans un deuxième temps, nous étudions sur
quels domaines la fonction p(x)
possède la propriété de sous-additivité p(x+y) £ p(x)+p(y). Cette
propriété est pourtant incompatible avec une généralisation des nombres
premiers jumeaux : la conjecture des k-uples. Nous
exhibons un k-uple admissible super-dense. Enfin,
poursuivant le chemin tracé par Mc CURLEY (1984) puis
RAMARE & RUMELY (1996), nous donnons des estimations des
fonctions de CHEBYSHEV dans les progressions arithmétiques. Pour finir,
nous proposons un algorithme de calcul exact de p(x)
jusqu'à x = 1020 dans les
progressions arithmétiques basé sur la notion de crible combinatoire
(crible de MEISSEL-LEHMER (1870)) plus efficace que le crible
d'ERATOSTHENE (200 avant JC).
Mots-clés :
Encadrement des fonctions ψ, θ, π et du k-ième nombre
premier ; calcul exact de π(x;
k; l) ; nombre premier.
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English version ----------------------------------------------
Titre : Around the function which counts the number
of primes
Résumé
: The set of positive integers can be decomposed
into two large disjointed classes: the prime numbers and the composite
numbers. The present work deals with the
p(x)
function which counts the number of primes not greater than x. For
large x, a function equivalent to
p(x)
has been known for a hundred years, since when the prime number theorem
was shown. We find sharper bounds for
p(
x)
and estimates for prime numbers through the instrumentality of
Chebyshev's functions. We lean on methods proposed by Rosser &
Schoenfeld (1975). In a second part, we study on which domains the
function
p(
x)
has the property of under-additivity
p(
x+
y)
£ p(
x)+
p(
y). This
property is nevertheless incompatible with a generalization of the twin
primes conjecture: the k-uple conjecture. We give an admissible
super-dense k-uple. Next, following the ideas of Mc Curley (1984), and
then Ramare & Rumely (1996), we give estimates for the
Chebyshev's functions in arithmetic progressions. Finally we propose an
algorithm for exact computation of
p(
x)
in arithmetic progressions based on combinatorial sieve notion (sieve of
Meissel-Lehmer (1870)), which is faster than the Eratosthenes sieve
(200 B.C.).
Key words. Estimates
of the functions ψ, θ, p
and of the k-th prime number; exact computation of p(x;k,l),
prime number.