<\body> ||<\author-address> XLIM-DMI ||>||<\author-address> XLIM-DMI ||>|<\doc-note> > <\abstract> Ce document est le texte accompagnant un exposé qui a eu lieu à Limoges le 30 juin 2006 dans le cadre d'une collaboration entre mathématiciens et physiciens sur des problèmes de \S réduction d'ordre \T. Lobjectif du texte est de nous permettre de partager quelques mots de vocabulaire et pour expliquer à nos collègues pourquoi nous posons des questions sur la nature des fonctions que nous cherchons à approcher. On trouve donc les principale notions servant à définir les approximants de Padé, quelques algorithmes de calcul et surtout quelques exemple pour illustrer les résultats de convergences et surtout leurs limites. On trouve dans le texte des affirmations pûrement gratuite qui ne sont que le produit de l'expérience des auteurs et qui en sont en rien des résultats mathématiques. > Considérons une série formelle |\>|i=0>f z>, on cherche une fraction rationnelle , avec et , telle que |\>|i=0>f z-N(z)\\(z)>, autrement dit, le développement en série de correspond avec la série formelle sur les premiers coefficients. Un tel quotient est appelé un n/d> approximant de Padé de \ |\>|i=0>f z>. Si la série formelle \ |\>|i=0>f z> a un rayon de convergence 0> alors il s'agit du développement en série de Taylor d'une fonction en et est donc une approximation au moins locale de .\ En pratique, si la série formelle correspond au développement d'une fonction, un approximant de Padé donne parfois (et même souvent) une approximation qui fonctionne encore au-delà du rayon de convergence de la série, sous de bonnes hypothèses sur la fonction de départ. Dans ce petit texte, nous montrerons un algorithme naïf de calcul d'un approximant de Padé, puis nous donnerons quelques résultats de convergence des approximants de Padé. Le texte est émaillé d'exemple permettant de commencer à se forger une \S intuition \T sur le sujet. Ces exemples sont pleins d'affimations gratuite qui ne relève pas des mathématiques, mais de la seule expérience des auteurs.\ Nous décrivons ici un algorithme qui calcul un approximant de Padé n/d> d'une série formelle f z>. Ceci montre l'existence d'un tel approximant. <\remark> Si est un approximant de Padé n/d> de f z>, alors pour tout \\>>, la fraction rationnelle \N(Z))/(\\D(z))> est aussi un approximant de Padé de f z>. Généralement, on choisit un approximant tel que =1>, i.e. |d>|i=1>d z>. Repartons de la propriété qu'on a exigé d'un approximant de Padé n/d> : <\equation*> D(z)\|\>|i=0>f z=N(z)+\(z) qu'on réécrit sous la forme : <\equation> 1+|d>|i=1>b z\|\>|i=0> f z=|n>|i=0>a z+\(z). On va considérer le système linéaire obtenu en considérant l'égalité degré par degré. On considère uniquement les conditions correspondant aux degrés n+d>. On décompose en deux sous-systèmes, les conditions correspondants aux degrés n> qui font intervenir les coefficients de , par contre, les conditions correspondants aux degrés compris entre et , ne font pas intervenir les coefficients de , uniquement ceux de et des > (qui eux sont connus). La stratégie que nous adoptons est de calculer les coefficients de en utilisant les conditions données par les termes de degré compris entre et , puis de calculer ceux de . Le tableau suivant donne le degré et la condition correspondante à chaque fois : <\equation> >|>>|| b+f b+\+fb>=0>>|| b+f b+\+fb+> = 0>>|>|>>|| b+f b + \+f b+ > = 0>>>>> \; Si on écrit les équations de () sous forme matricielle, on obtient : <\equation> >|>>|>>|>|>|>>>|>>|>>|>|>|>>|>>>|>>|>||>>|>>|>|>|>|>>|>>||>|>|>>|>>|||>|>>|>>|>|>|>|>>>>>>>|>>|>>|>>|>>|>>>>>=>>|>>|>>|>>|>>|>>>>> \; La première étape de notre approche consiste donc à résoudre le système (). Une fois connus les coefficients ,\,b>, pour retrouver les coefficients de on considère les conditions correspondant aux termes de degré compris en et : <\equation> >|>>||=f>>||=f+bf>>||=f+bf+bf>>|>|>>||=f+|min(n,d)>|i=1>bf>>>>> \; Il s'agit essentiellement d'évaluer les membres de droite des conditions de ().\ <\remark> Si la matrice de () est de rang plein, alors comme le numérateur et le dénominateur d'un approximant de Padé n/d> satifont (-), la solution existe et elle est unique. <\remark> Naïvement, cette approche nous conduit à un algorithme utilisant (d+n)> opérations arithmétique. Une première amélioration consiste à remarquer que la matrice du système () est de T÷plitz ce qui conduit à un algorithme en (d+n)> (voir mieux asymptotiquement). \; On considère la série formelle |2>+\(z)> et on cherche un 1,1> approximant de cette série. Autrement dit, on cherche une fraction rationnelle de la forme =(a z + b)(1 -c z +c z) + \(z)>, soit =b + (a -c b) z + (b c-a c) z + \(z)> et par identification terme à terme, on a , et -a c=c (c-a) = =1/2>. Finallement, on a |1->+\(z)>. Quelquechose doit vous choquer dans cet exemple !\ |eps>||||||>|En rouge l'exponentielle et en vert |1->>> \; \ \; Considérons le polynôme +z>, on cherche un 1/1>-approximant tel que (z)>, i.e. on cherche =1+z>, i.e. z)=1+z>, ce qui implicque que , soit et enfin que -b c =1> mais comme ceci impliquerait que -c=0=1>. Ainsi, il n'est pas possible de trouver et tels que (z)>. C'est ce qui aurait dû vous choquer dans l'exemple précédent. En effet, suivant la section , nous aurions dû mettre les choses sous la forme +z) = N(z) + \(z)>. Dans ce dernier cas on vois qu'en posant , on a (z) = N(z) +\(z)> soit et par conséquent un 1/1>-approximant de Padé est identiquement égale à .\ \; Dans cet sous-section nous montrons un exemple dans lequel un approximant de Padé approche bien mieux une fonction que sa série de Taylor car l'approximantr reste correct bien au-delà du rayon de convergence de la série. On considère la fonction |1+2 z>>> dont un développement de Taylor à l'origine est +\(z)>. Un 1/1> approximant de Padé est tel que )=(a + a z) +\(z)>, ainsi, =1>, > et . On en déduit que et =7/8>. On a donc : <\equation*> f(z) = +\(z). |eps>||||||>|En rouge , en vert 1/1(z)> et en jaune >> On remarque que les courbes rouge et \ verte restent très proches, en effet chacune a une asymptote horizontale pour il s'agit de et pour > on a \>>>==0.5384615385\>. L'approximant de Padé 1/1(z)> continu donc d'approcher bien au-delà du rayon de convergence de sa série de Taylor (dont le rayon de convergence est ).\ \; Dans cette section on reprend les idées introduites dans la section et on donne des définitions et des résultats précis. La première chose est de définir ce qu'est un approximant de Padé. <\definition> Soient |\>|i=0>f z> une série formelle, et deux entiers positifs non nuls ; une n/d> forme de Padé de , noté n/d(z)>, est un couple \z> tel que f(z) = N(z) + \(z)>. <\proposition> Pour tout série formelle \z> et pour tout couple \\(0,0)>, il existe des n/d> formes de Padé de . <\proof> Ca découle directement du fait que de telles formes sont données par des solutions des systèmes () et () qui sont toujours bien contraints. <\definition> Soit \z> une série formelle, toutes les n/d> formes de Padé de sont équivalente à une même > rationelle.\ <\proof> Soient \z>, et (z),D(z))> deux n/d> formes de Padé de , alors par définition on a : <\eqnarray*> ||f(z) - N(z) = \(z)>>|||(z)\f(z) - N(z) = \(z)>>>> donc on a (z) \N(z) -D(z)\N(z)=\(z)> et (z)\N(z))\n+d> et N(z)\ n+d> donc (z) \N(z) =D(z)\N(z)> ce qui implique que =(z)|D(z)>>. <\definition> Soit \z>, et soient et des entiers positifs non nul, alors l'unique représentant des n/d> formes de Padé est appelé approximant de Padé de et il est noté n/d(z)>. <\definition> Soit \z>, on appel table de Padé de la table suivante : <\equation*> n>||||>>||0/0(z)>|1/0(z)>|2/0(z)>|>>||0/1(z)>|1/1(z)>|2/1(z)>|>>||0/2(z)>|1/2(z)>|2/2(z)>|>>|>|>|>|>|>>>>> dont la premier ligne est formée des polynôme de Taylor de . \; Souvent, la table de Padé d'une série formelle a une structure en bloc comme c'est le cas pour la série de >=1 + z+z+ \(z)> : <\equation*> |||||>>||>|>|>>|>>|>>>||>|>|>>|>>|>>>||>>>|>>>|>>>|>>>|>>>||>>>|>>>|>>>|>>>|>>>|>|>>|>>|>>|>>|>>>>>> \; <\definition> Un approximant de Padé qui n'apparait qu'une fois dans une table est dit .Une fonction dont tout les approximants sont normals est dite . \; On donne ici le début de la table de l'exponentielle. En fait, l'exponentielle est une fonction normale. Considérons =|\>|i=0>|n!>> et soient et deux entiers positifs, on cherche l'expression de (z)/D(z)> de n/d(z)>. On note = >, pour tout \z>, on a (q e)=q e+q e=e(1+\)q> en utilisant cette relation pour appliquer > à la relation (z)\e-N(z)=\(z)> on obtient : <\equation*> e\(1+\)D(z)+0 =\(z) ainsi )D(z) = \\z> avec \\>. Or l'opérateur )> est inversible est sont inverse )=|\>|i=0> (-1) \> et donc (z) = \\(1+ \)\z> et finallement \ (z) =\\|n>|i=0> \ \ \ \ (-1) \ z>=\\|n>|i=0> \ \ \ \ (-1) z>. Après simplification, on a : <\equation*> (z) = |n>|i=0>n!|(n+d)!\(d-i)!>\|i!>>. Enfin, on a (z)\e-N(z) = \(z>)>, donc (z) - N(z)*\e=\(z)> et finallement (z) = D(-z)>>. En étudiant un peu plus les dénominateurs des approximants de Padé de l'exponentielle, on s'apperçoit que D(z)\e>> pour tout tel que z\\>. \ Ce qui conduit à une version simplifié du théorème de Padé : <\theorem> Soient )> et )> deux suites d'entiers positifs tel que +d\+\>, /d\\> quand +\>, alors : <\itemize-dot> +\>D,d>(z) = e)>>; +\>N,d>(z) = e z/(1+\)>>; +\>n/d(z)=e>; \; ces égalités étant locallement uniformes sur >. <\corollary> Les pôles des approximants de Padé de >tendent vers l'infini quand +\>. On aimerai savoir s'il y a des résultats généralisant ces deux derniers et de quelles conditions sur la fonction qu'on approche a-t-on besoin pour généraliser ces résultats. \; \; Le premier résultat de convergence introduit ici est le théorème de de Montessus de Ballore : <\theorem> Soit une fonction méromorphe ayant exactement > pôles dans le disque =z\\ \ \ z\\>, et sans pôle en , alors la suite n/\(z)> converge vers uniformément sur \> quand +\>. De plus, les pôles de n/\> convergent vers les pôles de quand +\>. \; On considère une fonction avec des pôles isolés, ici > sur le carré centré en est de coté > du plan complexe. En voici une représentation graphique :