Calcul matriciel

Dernière mise à jour : 9 Septembre 2008


  1. Définitions

  2. Opérations sur les matrices

    1. Addition, soustraction
    2. Multiplication par un nombre
    3. Transposition
    4. Multiplication des matrices
    5. Inversion des matrices carrées
    6. Déterminant d'une matrice carrée

  3. Application aux systèmes d'équations linéaires

    1. Formulation matricielle
    2. Cas d'une matrice régulière
    3. Cas d'une matrice singulière

I. Définitions

Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes :

Exemple avec n = 2, m = 3 :

n et m sont les dimensions de la matrice.

Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier).

On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij]

Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément vecteur-colonne) :

N.B. : Dans ce chapitre, nous utiliserons des lettres majuscules pour les matrices et des lettres minuscules pour les vecteurs, mais ce n'est pas obligatoire.

Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée.

Quelques matrices carrées particulières (Exemples avec n = 4)

Matrice unité Parfois notée In
n est la dimension de la matrice
(soit I4 dans cet exemple)
Matrice diagonale notée diag(Dii)
Matrice triangulaire supérieure
(Upper triangular matrix, U)
Matrice triangulaire inférieure
(Lower triangular matrix, L)

Une matrice carrée A est dite symétrique si :

Aji = Aij

pour tout i différent de j


II. Opérations sur les matrices


II.A. Addition, soustraction

L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions :


II.B. Multiplication par un nombre

Chaque terme de la matrice est multiplié par le nombre :


II.C. Transposition

La transposée AT (aussi notée A') d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A :

La transposée d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne :


II.D. Multiplication des matrices

Définissons tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y :

Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.

Le produit matriciel s'en déduit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.

Exemple :

On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne :


Propriétés :


Quelques produits particuliers :

(x et y sont des vecteurs-colonnes, A est une matrice)

Carré scalaire.
Sa racine carrée (xTx)½ est appelée norme du vecteur ( notée )
Produit extérieur des vecteurs x et y
(Matrice d'élément général xiyj)
Ne pas confondre avec le produit scalaire.
Forme quadratique (si A est symétrique)
Forme bilinéaire (dite symétrique si A est symétrique)

II.E. Inversion des matrices carrées

Une matrice carrée A est dite inversible ou régulière s'il existe une matrice carrée A-1 (appelée matrice inverse) telle que :

A × A-1 = A-1 × A = I

Si A-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulière

Propriétés :


II.F. Déterminant d'une matrice carrée

Pour une matrice 2 × 2, on montre que la matrice inverse est donnée par :

Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté :

La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro.

La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. Ce résultat se généralise à une matrice de dimension quelconque.

Propriétés des déterminants :


III. Application aux systèmes d'équations linéaires


III.A. Formulation matricielle

Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
....................................................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

où les aij sont les coefficients du système, les xi les inconnues et les bi les termes constants.

Un tel système peut s'écrire sous forme matricielle :

Ax = b

avec :


III.B. Cas d'une matrice régulière

Si la matrice A est régulière, on a, en multipliant à gauche par A-1 :

A-1Ax = A-1b

Soit :

x = A-1b

Exemple :

Soit le système de 2 équations à 2 inconnues :

2x1 + 3x2 = 9
x1 - x2 = 2

On a successivement :

Soit : x1 = 3, x2 = 1.


III.C. Cas d'une matrice singulière

Lorsque la matrice est singulière, deux cas sont à envisager :