Auteur : Delphine Boucher
Date de soutenance : 16 octobre 2000
Titre : Sur les équations différentielles linéaires paramétrées, une application aux systèmes hamiltoniens.
Jury : R. Chirchill (rap.), J.-P. Ramis (rap.), D. Boularas, M. Van der Put, F. Ulmer, D. Duval (Dir.), J.-A. Weil (Dir.).
Document : Thèse (PDF)
Résumé : Notre étude porte sur les équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux paramétrés :
LM(y(x)) = an(M,x) y(n) (x) +...+ a1(M,x) y' (x) + a0(M,x) y(x) = 0. Nous nous intéressons à certaines classes de solutions qui ont déjà fait l'objet d'études dans le cas non paramétré (au dix-neuvième siècle et depuis ces dernières années).
Tout d'abord nous nous intéressons aux solutions polynomiales. La difficulté provient de l'éventuelle dépendance du degré de ces solutions en fonction des paramètres : il n'est plus nécessairement borné et des conditions arithmétiques sur les paramètres apparaîssent. Il n'est pas possible de décider si l'ensemble V des valeurs des paramètres m pour lesquelles l'équation Lm (y) = 0 a des solutions polynomiales est vide ou non (J.A. Weil). L'objectif est alors de trouver toutes les relations entre les paramètres décrivant l'ensemble V (sans chercher à résoudre les équations trouvées). Nous répondons partiellement à cette question en proposant une boîte à outils pour aider à caractériser l'ensemble V.
Nous proposons aussi un calcul des exposants généralisés en un point en nous inspirant de raisonnements issus de l'évaluation dynamique. Nous prouvons alors que la factorisation des opérateurs différentiels linéaires à coefficients polynomiaux paramétrés se réduit (comme dans le cas non paramétré) à l'étude des solutions polynomiales d'équations auxiliaires. Nous nous intéressons enfin aux solutions formelles en un point.
Nous obtenons une boîte à outils implantée dans le langage de calcul formel Maple. Son utilisation trouve une application dans l'étude des systèmes hamiltoniens. Nous déduisons en effet du théorème de Morales-Ramis un critère de non-intégrabilité des systèmes hamiltoniens puis nous utilisons notre boîte à outils pour appliquer ce critère et prouver la non-intégrabilité du problème plan des trois corps le long de la solution de Lagrange.
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