Auteur : Aude Maignan
Date de soutenance : 20 janvier 2000
Titre : Résolution réelle d'équations et de systèmes d'équations algébro-élémentaires
Jury : D. Richardson (Rap.), J.-C. Yakoubsohn, (Rap.), J.-P. Dedieu, D. Michelucci, J.-J. Risler, D. Duval (Dir.) A. Bellido (Codir.)
Document : Thèse (PDF)
Résumé : La résolution réelle des équations algébro-élémentaires soulève les problèmes de majoration-minoration, séparation-comptage et localisation de l'ensemble des solutions.
La classe des fonctions algébro-élémentaires étant très vaste, trouver une méthode générale pour déterminer l'existence ou non d'un majorant de l'ensemble des racines et l'exhiber s'il existe est un problème difficile. En utilisant la théorie de la décomposition cylindrique algébrique, nous proposons de le résoudre pour des sous-classes telles que celles des fonctions exp-log et des polynômes en x et sin x.
Des travaux de D. Richardson, et notamment la méthode de Sturm-Richardson, permettent de calculer théoriquement le nombres de racines de fonctions algébro-élémentaires sur des intervalles bornés. Nous proposons une nouvelle approche dont le coût est réduit, permettant ainsi de repousser les limites de la résolution pratique.
Nous nous plaçons ensuite dans le cadre plus général des systèmes d'équations algébro-élémentaires, le but étant de localiser l'ensemble des solutions dans un pavé borné. Pour ce faire, nous étendons la méthode d'exclusion pour les systèmes polynomiaux de J.-P. Dedieu et J.-C. Yakoubsohn. Cette méthode symbolique-numérique génère un ensemble de pavés de petites tailles contenant l'ensemble des solutions. Nous étudions la complexité de cette méthode d'exclusion généralisée et donnons une approche spécifique pour les systèmes mals conditionnés.
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