Auteur : Alain Saliner
Date de soutenance : 15 janvier 2000
Jury : J. Alev (Rap.), J. Martinet (Rap.), J.-P. Wintenberger (Rap.), J.-P. Borel, F. Laubie, M. Waldschmidt, G. Christol ( Dir.)
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Résumé : Les travaux présentés se situent dans les domaines de l'algèbre, de l'arithmétique et de l'analyse p-adique. Ils s'ordonnent en quatre chapitres.
1. Algèbre des corps locaux : par utilisation de la théorie du corps des normes de Fontaine et Wintenberger, nous étudions les systèmes dynamiques non archimédiens, dégageant la notion de séries minimalement ramifiées, et nous déterminons toutes les séries qui commutent (au sens de la composition) avec certaines séries construites à l'aide d'une loi de groupe formel de Lubin-Tate. Ceci conduit à la démonstration d'un cas particulier d'une conjecture de Lubin. D'autre part, nous étudions la méthode d'Ore pour la factorisation des polynômes, mettant en évidence le lien entre polygones de Newton et valuations, et nous en tirons un critère d'irréductibilité pour des polynômes en deux variables.
2. Théorie de Galois des trinômes : on donne des critères pour que le groupe de Galois d'un trinôme soit primitif, ou doublement transitif, ou encore contienne le groupe alterné ; on donne un procédé permettant de construire des exemples explicites de trinômes de groupe de Galois isomorphe à un groupe alterné. Dans ces travaux, l'étude de la ramification des corps de nombres engendrés par une racine du trinôme considéré joue un rôle essentiel.
3. Algèbre réelle : on caractérise les corps satisfaisant le théorème de l'axe principal et on montre que le groupe octaédral binaire ne se réalise pas comme groupe de Galois d'une extension d'un corps pythagoricien formellement réel.
4. Algèbre et équations différentielles : inspiré par la théorie des équations différentielles p-adiques, on met en évidence une structure de cogèbre sur un anneau d'opérateurs différentiels et on étudie une interprétation purement algébrique de la dualité entre équation différentielle et équation différentielle adjointe. De plus, on étudie la structure de Frobenius faible d'équations différentielles à coefficients dans un corps de fonctions algébriques. Enfin, nous montrons que les polynômes de Bessel et leurs polynômes dérivés d'ordre quelconque non nuls n'ont que le minimum de zéros réels.