Auteur : Jean-François Ragot
Date de soutenance : 4 décembre 1997
Titre : Sur la factorisation absolue des polynômes
Jury : G.Robin (Prés.), D. Le Brigand (Rap.), C.Traverso (Rap.), G. Villard (Rap.), A. Galligo, M. Rybowicz, P. Zimmermann, D. Duval (Dir.)
Document : Thèse (PDF)
Résumé : La factorisation absolue d'un polynôme est sa décomposition en facteurs irréductibles sur une clôture algébrique du corps de ses coefficients. Ce cas particulier de la factorisation a été assez peu étudié malgré son importance en géométrie algébrique. Nous nous sommes attachés à tenter d'apporter des solutions pour le cas des polynômes à coefficients rationnels. Dans la première partie, après avoir exposé la méthode de factorisation absolue de B. Trager et C. Traverso, nous proposons un algorithme spécifique pour le calcul des facteurs linéaires d'un polynôme basé sur les mêmes principes. Ensuite, nous étudions et améliorons un algorithme de factorisation absolue des polynômes en deux indéterminées dû à D. Duval. Si le polynôme est irréductible sur le corps de ses coefficients, il engendre un corps de fonctions algébriques. Nous calculons l'espace des fonctions constantes de ce corps, espace auquel est lié la factorisation absolue du polynôme. Notre implantation de cet algorithme sur le système de calcul formel Maple donne des résultats encourageants. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'un test d'irréductibilité absolue. E. Kaltofen, C. Traverso et R. Dvornicich ont montré le résultat suivant : si un polynôme f de k [x1,...,xr] est irréductible sur le corps k et si l'équation f = 0 admet une solution simple dans kr, alors f est absolument irréductible. Etant donné un polynôme f à coefficients rationnels absolument irréductible, nous montrons que ces conditions suffisantes sont très probablement réalisées sur la réduction de f modulo un nombre premier p. Détectant ainsi l'irréductibilité absolue de f modulo p, on en déduit celle de f. Ces conditions modulo p étant aisément détectables, nous en déduisons un test dont l'implantation en Maple s'avère très efficace.
Mots clés : Calcul formel, Polynôme à plusieurs indeterminées, Factorisation algébrique, Irréductibilité, Corps de fonctions algébriques, Anneau des entiers, Normalisation, Point rationnel, Dénombrement.