Auteur : Maria Nisipeanu
Date de soutenance : 6 novembre 1997
Titre : Somme variationnelle d'opérateurs et applications
Jury : J.B.Baillon (rap.), S. Reich (rap.), H. Attouch, D. Cioranescu, J.B. Hiriarrt-Urruty , R. Janin, C. Malivert, M. Théra (Dir.)
Document : Thèse (PDF)
Résumé : L'étude part de la constatation élémentaire que la notion de somme "ponctuelle" pour des opérateurs (qui peuvent être multivoques) n'est pas toujours bien adaptée aux problèmes concrets (il suffit par exemple de regarder ce qui se passe pour les équations de Schrödinger). Il est par suite nécessaire d'introduire d'autres notions qui prennent mieux en compte certains problèmes d'évolution. C'est le cas, par exemple, de la somme variationnelle introduite par H. Attouch- J.B. Baillon- M. Théra (J. of Convex Analysis, 1993). L'objet de la thèse est une étude approfondie de ce concept. Dans une première partie nous étendons la formule de la somme (pour les sous-différentiels de fonctions convexes, semi-continues inférieurement) aux fonctions selles (convexes-concaves) fermées. Une étude comparative complète entre les notions de somme variationnelle et de somme de Trotter-Lie-Kato (définie à partir des semi-groupes de contractions associés à chacun des opérateurs maximaux monotones) est ensuite entreprise. Nous établissons également un analogue pour les opérateurs maximaux monotones de la formule de Hiriart-Urruty & Phelps (J. Functional Analysis, 1994) du sous-différentiel de la somme. Cette étude nécessite l'introduction de concept d'opérateur approximant un opérateur maximal monotone qui coïncide avec le sous-différentiel \epsilon-approché de l'optimisation convexe, lorsque l'opérateur est un sous-différentiel. Enfin, nous proposons un algorithme pour rechercher les zéros de la somme ponctuelle et variationnelle d'opérateurs maximaux monotones.