LACO - Équipe Théorie Algébrique des Nombres

Équipe Théorie Algébrique des Nombres

Responsable : Francois Laubie

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Séminaire de Théorie Algébrique des Nombres

Publications

Thèses

Rapports de recherche

Recherche

Groupe des classes d'idéaux (T. Berthier)

Il s'agit de déterminer la structure et d'obtenir un système de générateurs du groupe des classes d'idéaux d'un corps de nombres abélien. Dans le souci de rendre explicites et effectifs les résultats obtenus, de nombreux calculs ont été faits sur ordinateur
Théorie des codes correcteurs (F. Laubie).

Ce thème a donné lieu à des contacts avec des chercheurs de l'INRIA. Il a permis d'encadrer une thèse soutenue dans ce domaine et aussi de participer à plusieurs jurys de thèse. Le projet de recherche poursuivi actuellement est l'application de la théorie algébrique des nombres en théorie des codes, ainsi que la théorie des codes lexicographiques qui est le sujet de thèse de A. BELDI. La théorie des opérations récursives sur les entiers naturels est un sujet trés proche également étudié.

Mots de Christoffel (F. Laubie).

Ici, un nombre réel est codé par un mot. La représentation obtenue est étroitement liée au développement en fraction continue du réel considéré. La question posée maintenant est l'interprétation des opérations d'addition et de multiplication dans cette représentation.

Corps locaux et ramification (F. Laubie, A. Movahhedi, A.Salinier).

On étudie les filtrations de ramification des groupes infinis d'automorphismes des corps locaux en liaison notamment avec la théorie des corps de normes de Fontaine et Winterberger, la théorie d'Iwasawa des Z_p-extensions et les groupes formels de Lubin-Tate. Avec ces mêmes outils, on étudie les systémes dynamiques p-adiques dans le but d'avancer vers la conjecture de Lubin.

La K-théorie de l'anneau des entiers d'un corps de nombres (A. Movahhedi).

Pour un corps de nombre F le noyau sauvage WK₂(F) est le noyau de tous les symboles de Hilbert sur K₂(F). Pour un nombre premier fixé p, on peut définir grâce à la cohomologie étale, les noyaux sauvages étales WK_2i-2(F)^ét de degré supérieur pour tout i > 1 qui sont des groupes finis. Lorsque i = 2, le groupe WK_2i-2(F)^ét coïncide avec la partie p-primaire de WK₂(F).

Ces noyaux sauvages WK_2i-2(F)^ét jouent des rôles symétriques aux p-parties du groupe des classes de F. Nous obtenons une formule de co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages dans les extensions cycliques de degré p. Comme conséquence de cette formule, on voit que, pour p > 3, les seules p-extensions de Q pour lesquelles la p-partie du noyau sauvage classique WK₂(F) est triviale sont celles qui sont contenues dans la Z_p-extension cyclotomique de F.

Groupes de Galois et ramification (A. Movahhedi, A. Salinier).

La question de la détermination explicite des groupes de Galois est à la fois ancienne et actuelle. Nous sommes partis des travaux récents d'Abhyankar et Osada pour obtenir des résultats nouveaux sur les groupes de Galois d'extensions du corps des rationnels engendrées par les racines de trinômes. En particulier, on a pu montrer que ces groupes vus comme groupes de permutation des racines sont primitifs sous des hypothèses assez générales. Avec Steve Cohen (Glasgow) nous montrons qu'ils sont doublement transitifs sous d'autres hypothèses. Toujours en collaboration avec lui, nous pensons pouvoir bientôt préciser ce résultat en utilisant la description des groupes doublement transitifs qui est, comme on sait, une conséquence du théorème de classification des groupes finis simples. Remarquons que ces résultats sont atteints en utilisant la détermination des groupes d'inertie à partir de la théorie de la ramification. En particulier, l'utilisation du ``lemme d'Abhyankar" nous permet de clarifier beaucoup les arguments qui avaient été utilisés jusqu'alors.

Algèbre réelle (A. Movahhedi, A. Salinier).

En étudiant la théorie des corps formellement réels, nous avons pu obtenir une caractérisation nouvelle des corps qui satisfont, comme celui des nombres réels, le ``théorème de l'axe principal" d'après lequel toute matrice symétrique à coefficients dans le corps est semblable à une matrice diagonale. Cette nouvelle caractérisation, obtenue de façon très élémentaire en termes de propriétés des ``formes traces" des extensions finies du corps considéré, ouvre la perspective de prolongements en théorie de Galois des corps formellement réels. Nous pensons être en mesure de démontrer l'impossibilité de la réalisation comme groupe de Galois sur un corps pythagoricien de certains groupes (en plus de ceux déjà connus).

Coopérations et colloques

L'Equipe de Théorie Algébrique des Nombres est membre du Groupement de Recherche Théorie Algébrique des Nombres.

Coopération avec les Universités de Bordeaux, Glasgow (U.K.), Mc Master (Ontario-CANADA), Nottingham (U.K.), Steklov Math. Institut de Moscou (Russie).

Colloque : Calcul des groupes de Galois sur Q, 14-15-09-1995, (orateurs : Dèbes P., Jensen C., Matzat H., Olivier M. Vila N.).

Participation à l'organisation des XX-ièmes Journées Arithmétiques (Limoges, septembre 1997).
(Orateurs : L. Caporaso, Cohen H., Colmez P., Gramain F., Gross B., Martinet J., C. Pomerance, Sarnak P.).

Mercredi 17 et jeudi 18 novembre 1999 : Colloque Théorie Algébrique des Nombres
Conférenciers : V. Abrashkin, B. Erez, J.-M. Fontaine, G. Henniart, T. Nguyen Quang Do, J. Tilouine, J.P. Wintenberger.

		Équipe Théorie Algébrique des Nombres Responsable : Francois Laubie

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Le projet de recherche poursuivi actuellement est l'application de la théorie algébrique des nombres en théorie des codes, ainsi que la théorie des codes lexicographiques qui est le sujet de thèse de A. BELDI. La théorie des opérations récursives sur les entiers naturels est un sujet trés proche également étudié. Mots de Christoffel (F. Laubie). Ici, un nombre réel est codé par un mot. La représentation obtenue est étroitement liée au développement en fraction continue du réel considéré. La question posée maintenant est l'interprétation des opérations d'addition et de multiplication dans cette représentation. Corps locaux et ramification (F. Laubie, A. Movahhedi, A.Salinier). On étudie les filtrations de ramification des groupes infinis d'automorphismes des corps locaux en liaison notamment avec la théorie des corps de normes de Fontaine et Winterberger, la théorie d'Iwasawa des Z_p-extensions et les groupes formels de Lubin-Tate. Avec ces mêmes outils, on étudie les systémes dynamiques p-adiques dans le but d'avancer vers la conjecture de Lubin. La K-théorie de l'anneau des entiers d'un corps de nombres (A. Movahhedi). Pour un corps de nombre F le noyau sauvage WK₂(F) est le noyau de tous les symboles de Hilbert sur K₂(F). Pour un nombre premier fixé p, on peut définir grâce à la cohomologie étale, les noyaux sauvages étales WK_2i-2(F)^ét de degré supérieur pour tout i > 1 qui sont des groupes finis. Lorsque i = 2, le groupe WK_2i-2(F)^ét coïncide avec la partie p-primaire de WK₂(F). Ces noyaux sauvages WK_2i-2(F)^ét jouent des rôles symétriques aux p-parties du groupe des classes de F. Nous obtenons une formule de co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages dans les extensions cycliques de degré p. Comme conséquence de cette formule, on voit que, pour p > 3, les seules p-extensions de Q pour lesquelles la p-partie du noyau sauvage classique WK₂(F) est triviale sont celles qui sont contenues dans la Z_p-extension cyclotomique de F. Groupes de Galois et ramification (A. Movahhedi, A. Salinier). La question de la détermination explicite des groupes de Galois est à la fois ancienne et actuelle. Nous sommes partis des travaux récents d'Abhyankar et Osada pour obtenir des résultats nouveaux sur les groupes de Galois d'extensions du corps des rationnels engendrées par les racines de trinômes. En particulier, on a pu montrer que ces groupes vus comme groupes de permutation des racines sont primitifs sous des hypothèses assez générales. Avec Steve Cohen (Glasgow) nous montrons qu'ils sont doublement transitifs sous d'autres hypothèses. Toujours en collaboration avec lui, nous pensons pouvoir bientôt préciser ce résultat en utilisant la description des groupes doublement transitifs qui est, comme on sait, une conséquence du théorème de classification des groupes finis simples. Remarquons que ces résultats sont atteints en utilisant la détermination des groupes d'inertie à partir de la théorie de la ramification. En particulier, l'utilisation du ``lemme d'Abhyankar" nous permet de clarifier beaucoup les arguments qui avaient été utilisés jusqu'alors. Algèbre réelle (A. Movahhedi, A. Salinier). En étudiant la théorie des corps formellement réels, nous avons pu obtenir une caractérisation nouvelle des corps qui satisfont, comme celui des nombres réels, le ``théorème de l'axe principal" d'après lequel toute matrice symétrique à coefficients dans le corps est semblable à une matrice diagonale. Cette nouvelle caractérisation, obtenue de façon très élémentaire en termes de propriétés des ``formes traces" des extensions finies du corps considéré, ouvre la perspective de prolongements en théorie de Galois des corps formellement réels. Nous pensons être en mesure de démontrer l'impossibilité de la réalisation comme groupe de Galois sur un corps pythagoricien de certains groupes (en plus de ceux déjà connus). Coopérations et colloques L'Equipe de Théorie Algébrique des Nombres est membre du Groupement de Recherche Théorie Algébrique des Nombres. Coopération avec les Universités de Bordeaux, Glasgow (U.K.), Mc Master (Ontario-CANADA), Nottingham (U.K.), Steklov Math. Institut de Moscou (Russie). Colloque : Calcul des groupes de Galois sur Q, 14-15-09-1995, (orateurs : Dèbes P., Jensen C., Matzat H., Olivier M. Vila N.). Participation à l'organisation des XX-ièmes Journées Arithmétiques (Limoges, septembre 1997). (Orateurs : L. Caporaso, Cohen H., Colmez P., Gramain F., Gross B., Martinet J., C. Pomerance, Sarnak P.). Mercredi 17 et jeudi 18 novembre 1999 : Colloque Théorie Algébrique des Nombres Conférenciers : V. Abrashkin, B. Erez, J.-M. Fontaine, G. Henniart, T. Nguyen Quang Do, J. Tilouine, J.P. Wintenberger.