LES ARCHIVES DU COLLOQUIUM

Vendredi 15 septembre 2000, 11h00, Salle des séminaires

A. Schinzel, Académie des Sciences de Varsovie

"Un problème de Wienberger sur les polynômes"

Mardi 17 octobre 2000, 10h30, Salle des séminaires

Marius van der Put, RiksUniversiteit Groningen - Pays-Bas

"Differential equations in positive characteristic"

Mercredi 22 novembre 2000, 16h, Salle des séminaires

J.-B. Hiriart-Urruty, Université Paul Sabatier - Toulouse

"Le "Monde quadratique" et le "Monde convexe" : un mariage inattendu mais heureux"

Vendredi 15 décembre 2000, 15h, Salle des séminaires

M. Waldschmidt, Université Paris VI

"Valeurs zeta multiples et polylogarithmes: une conjecture diophantienne"

Résumé.

Mercredi 17 janvier 2001, 16h, Salle des séminaires

Bernard PRUM, Université de Evry

"En quoi les statistiques peuvent-elles aider à comprendre les génomes"

Résumé. Depuis ses débuts, la génétique s'est fortement appuyée sur la statistique : c'est en effet la seule science où le hasard entre d'emblée dans la modelisation. L'avalanche de données arrivant aujourd'hui du déchiffrement des séquences d'ADN (20 millions de lettres par jour !) rend encore plus nécessaire l'intervention du statisticien qui, avec ses outils, part a la recherche de comportements "non prévisibles" des séquences obtenues, ce "non prévisible" étant sans doute la marque d'un rôle biologique à mettre en évidence.

Mercredi 14 février 2001, 16h, Salle des séminaires

Philippe Flajolet, INRIA

"L'arbre digital -- Entre informatique discrète et mathématique concrète"

Résumé. Knuth a montré le premier il y a trente ans toute la richesse de l'analyse d'algorithmes. Partant des algorithmes fondamentaux de l'informatique discrète, il s'agit d'en prédire le comportement quantitatif et d'en réaliser l'optimisation fine. Rien ne prédipose a priori le domaine à être objet de mathématique "intéressante", mais ici encore se manifeste ce que Wigner nomme la "déraisonnable efficacité des mathématiques". On illustrera le phénomène par l'exemple des arbres digitaux qui apparaissent dans des domaines très variés: traitement de grand corpus textuels, bases de données, protocoles de communication, compression de données, calcul formel, etc. La caractérisation des propriétés probabilistes de ces arbres fait intervenir par exemple l'analyse combinatoire, le calcul des probabilités, les équations aux différences, les transformation intégrales, la théorie analytique des nombres, l'analyse asymptotique complexe, ou encore les opérateurs de transfert de l'analyse fonctionnelle. Une compréhension très fine des propriétés de ces arbres voire même de nouveaux algorithmes résultent de cette confrontation fructueuse entre les points de vue mathématiques et informatiques.

Mercredi 28 mars 2001, 16h, Salle des séminaires

Albert COHEN, Université Paris VI

"Analyse Harmonique et Traitement d'Image"

Résumé. Dans cet exposé, nous ferons le lien entre le developpement récent de méthodes non-linéaires en traitement d'image, et l'appartion d'outils d'analyse harmonique modernes tels que les ondelettes. Nous examinerons plus particulierement les applications au éebruitage et à la compression, ainsi que la modélisation des images par des fonctions à variation bornées.

Albert COHEN est le lauréat du prix Jacques Herbrand, décerné par l'Académie des Sciences. Il a obtenu en 1995 le prix V.A. Popov pour ses travaux en théorie de l'approximation et est depuis 1998 membre de l'Institut Universitaire de France.

Mercredi 30 mai 2001, 16h, Salle des séminaires

Gilbert STRANG, Department of Mathematics, MIT

"Partly Random Graphs and "Small World" Networks"

Abstract. It is almost true that any two people in France are connected by less than six steps from one friend to another. What are models for large graphs with such small diameters ? Outstanding applications would be networks of neurons, or an electric power grid, or even (possibly) the world wide web.

Watts and Strogatz observed (in Nature, June 1998) that a few random edges in a graph could quickly reduce its diameter (longest distance between two nodes). We report on an analysis by Newman and Watts to estimate the diameter with an N-cycle and M random shortcuts, 1 << M << N. For one added edge, a complete analysis of diameter and eigenvalues has interesting results.

We also study a related model, which adds N edges around a second (but now random) cycle. The average distance between pairs becomes nearly A log N + B. The eigenvalues of the adjacency matrix are surprisingly close to an arithmetic progression; for each cycle they would be cosines, the sum changes the spectrum completely.

We will discuss diameters and eigenvalues of the adjacency matrix for partly random graphs. We also report on the surprising eigenvalue distribution for trees (large and growing ) found by Li He and Xiangwei Liu. And a nice work by Jon Kleinberg discusses when the short paths can be located efficiently by a decentralized algorithm -- as on the web.

Mercredi 24 octobre 2001, 16h00, Salle des séminaires

Jonathan BORWEIN, Docteur Honoris Causa de l'Université de Limoges, President of the Canadian Mathematical Society

" Experimental Mathematics and Exact Computation "

Mercredi 28 novembre 2001, 16h00, Salle des séminaires

Philippe CASSOU-NOGUES, Université Bordeaux I

" Structure galoisienne des anneaux d'entiers: Résultats anciens et récents "

Résumé. On rappelle les résultats de structure galoisienne des anneaux d'entiers de corps de nombres et notamment le lien entre l'existence de base normale d'entiers et celle de zéros de certaines fonctions L. On montre comment aborder ces questions dans le contexte des courbes elliptiques et plus généralement dans celui de la géometrie. On terminera en donnant les résultats récents de Chinburg, Taylor et Pappas sur une conjecture de Frohlich en "dimension supérieure".

Mercredi 30 janvier 2002, 16h00, Salle des séminaires

François GOLSE, Institut universitaire de France et ENS Ulm

" Billards dispersifs et théorie cinétique "

Résumé. Considérons la dynamique d'un gaz de particules parfaitement ponctuelles (donc s'ignorant mutuellement) dans un réseau d'obstacles sphériques sur lesquels elles rebondissent selon la loi de Descartes. A une certaine échelle, il semblerait à première vue que le comportement d'un tel système puisse être décrit par les outils de la théorie cinétique des gaz. (H. Lorentz avait d'ailleurs proposé en 1905 ce type de modèle cinétique pour décrire le mouvement des électrons dans les métaux). Toutefois, dans le cas le plus simple d'un réseau à mailles cubiques, la trop grande abondance de trajectoires sans collisions constitue une obstruction à la description par le modèle cinetique. Ceci découle de techniques simples d'approximation rationnelle --- en particulier de l'usage des fractions continues dans le cas bidimensionnel.

Mercredi 20 février 2002, 16h00, Salle des séminaires

Gilles Godefroy, Université Paris VI

" Actualités de l'infini "

Résumé. Les mathematiciens grecs de l'epoque classique ont decouvert l'existence de nombres irrationnels. Ils ont releve le defi scientifique que ces nombres representaient en creant une theorie moderne des grandeurs, reposant sur la consideration d'ensembles infinis de nombres. Les logiciens du vingtieme siecle ont affronte une crise analogue, lorsqu'ils ont tente de formaliser la theorie des ensembles et d'etablir qu'elle ne recelait pas de contradiction. Les resultats qu'ils ont obtenu ne sont pas conformes aux attentes optimistes des precurseurs et nous conduisent a faire une distinction entre le vrai et le demontrable. Nous devons faire face, cette fois encore, a l'infini. Nous verrons comment.

Mercredi 20 mars 2002, 16h00, Salle des séminaires

Michel Willem, Université Catholique de Louvain la Neuve

" Les solutions d'un problème symétrique sont-elles symétriques ? "

Résumé. L'etude numerique de certains problemes elliptiques non lineaires fait apparaitre des rutures de symetrie. Les etats fondamentaux de problemes invariants par rotation ne sont pas, en general, invariants par rotation. Toutefois des symetries partielles apparaissent dans certains cas. Ces symetries se deduisent de nouveaux theoremes de rearrangement qui utilisent la notion de polarisation. Cette notion elementaire est utile dans de nombreux domaines des mathematiques.

Mercredi 24 avril 2002, 16h00, Salle des séminaires

Michel Waldschmidt, Université Paris VI, Président de la SMF

" La conjecture abc et quelques unes de ses conséquences "

Résumé

Mardi 21 mai 2002, 16h00, Salle des séminaires

Michele Loday , Université de Angers

" Multisommabilité et groupes de Galois differentiels "

Résumé. En un point singulier d'une équation diff\'erentielle les séries entières solutions peuvent être divergentes mais elles ne divergent pas n'importe comment. On étudie sur quelques exemples simples la ``sommation'' de telles séries et on relie ces sommes à la classification analytique des singularités et au groupe de Galois différentiel de l'équation.

Mercredi 5 juin 2002, 16h00, Salle des séminaires

Jean-Paul Gauthier , Université de Bourgogne

" Théorie de l'observation déterministe, et applications "

Résumé. Le problème d'observation est le problème suivant: on se donne un système dynamique (contrôlé ou non), avec une observation partielle de l'état. Il s'agit , (sur la base de l'histoire de l'observation partielle), de reconstruire l'état du système (c'est à dire l'information complète). Ce problème est bien connu dans le cadre linéaire, et est souvent abordé dans un cadre stochastique (problème du filtrage , linéaire ou non linéaire). Dans le cadre linéaire stochastique, c'est le célèbre "filtre de Kalman" qui résoud le problème.

Depuis une dizaine d'année, nous avons développé une théorie complète, dans un cadre purement déterministe, avec un point de vue provenant de la toplogie différentielle et de la théorie des singularités.
Cette théorie est constructive, et peut être utilisée (constructivement) pour contrôler des systèmes partiellement observés. La connexion avec les méthodes du filtrage non linéaire est analysée.

Nous avons eu aussi l'occasion de traiter certaines vraies applications de ces méthodes sur des problèmes non triviaux et non académiques de la chimie du pétrole. Aprés avoir présenté les grandes lignes de cette théorie, je donnerai un de ces exemples.

L'ensemble de ces travaux fait l'objet du livre: JP Gauthier, I Kupka, "Deterministic observation theory and applications", Cambridge University Press, oct 2001.

Mercredi 5 juin 2002, 17h00, Salle des séminaires

Manfred Kolster, McMASTER University, Canada

" A survey of the Lichtenbaum Conjectures "

Vendredi 21juin 2002, 14h00, Salle des séminaires

J.-B. Hiriart-Urruty, Université Paul Sabatier, Toulouse

" Un chercheur peut-il innover en enseignement des mathématiques ? "

Résumé. Inspiré par un enseignement de Calcul intégral en Licence d'Ingénierie mathématique, on montre comment il est possible d'innover en enseignement, dans un domaine qui n'est pas lié à son propre domaine de recherches. Cela est illustré par deux exemples : l'évolution du volume de la boule euclidienne unité en fonction de la dimension de l'espace ambiant, et le passage vers la dimension infinie ; la transformée de Fourier au-delà des deux espaces de Lebesgue habituels, celui des fonctions intégrables et celui des fonctions de carré intégrable.

Mercredi 6 novembre 2002, 16h00, Salle des séminaires

Michèle Vergne, Ecole Polytechnique

" Polytopes convexes, volumes et nombre de points entiers "

Jeudi 28 novembre 2002, 17h00, Salle des séminaires

Maurice Mignotte, Université de Strasbourg

" Historique de la preuve de la conjecture de Catalan "

Résumé : En 1844, Eugène Catalan a posé la question suivante : existe-t-il des entiers consécutifs autres que 8 et 9 qui sont tous deux des puissances parfaites ?

Cette question a été résolue cet été par Preda Mihailescu, un mathématicien d'origine roumaine : effectivement, 8 et 9 sont les seules solutions. L'exposé présentera les étapes principales de cette preuve, qui débute en 1850 par un joli résultat de Victor Lebesgue : l'équation diophantienne $x^m-y^2=1$ n'a pas de solutions en nombres entiers $n>2$ et $x$, $y$ tous deux non nuls. Par contre, il a fallu attendre 1965 pour que l'équation $x^2-y^n=1$ soit complétement résolue, par Ko Chao. Pour le cas des exposants impairs, venir à l'exposé.

Mercredi 22 janvier 2003, 16h00, Salle des séminaires

K.O. Geddes, Symbolic Computation Group, University of Waterloo

"Symbolic and Hybrid Symbolic-Numeric Algorithms in Maple"

Abstract: An overview is presented of some of the capabilities of the Maple computer algebra system for solving mathematical problems, including both closed form symbolic solutions and numerical solutions.

For computational linear algebra, a convenient syntax for matrix computations interfaces to algorithms for symbolic linear algebra as well as for numerical linear algebra at hardware floating point speed. Arbitrarily high precision numerical computation is also supported.

For summation, integration and differential equation problems, modern algorithms have been incorporated into Maple for computing closed form symbolic solutions. Techniques include decision procedures, classification into known classes, and symmetry-based methods for DEs.

Numerical solvers which have been incorporated into Maple take full advantage of hardware floating point speed for both IVPs and BVPs, and for definite integrals. Hybrid symbolic-numeric techniques have been developed for handling integrand singularities and for computing integrals to arbitrarily high precision.

Jeudi 6 février 2003, 16h00, Salle des séminaires

Claude Basdevant, ENS et LAGA, Université Paris-Nord

"Le changement climatique : comment prévoir le climat futur ?"

Résumé : On dispose à présent de nombreux indices de l'influence de l'activité humaine sur le climat. Il reste néanmoins difficile de séparer sa variabilité naturelle des modifications anthropiques. On présentera les outils et les méthodes utilisées pour comprendre les mécanismes climatiques tenter de prévoir l'évolution future du climat de notre planète.

Mercredi 12 mars 2003, 16h00, Salle des séminaires

Dominique Cellier, Université de Rouen

"Comparaison de séquences biologiques, méthodes probabilistes versus méthodes déterministes : pour une réconciliation"

Mercredi 30 avril 2003, 16h00, Salle des séminaires

Jean-Christophe Yoccoz, Collège de France

"Dynamique non-uniformément hyperbolique"

Résumé : Le solénoïde ou le fer à cheval de Smale sont les objets typiques de la dynamique uniformément hyperbolique étudiée depuis les années 60. Celle-ci requiert fréquemment des contraintes topologiques fortes. Lorsque celles-ci ne sont pas satisfaites, on se trouve fréquemment en présence d'une dynamique plus subtile, qui est non-uniformément hyperbolique. Les objets typiques en sont les attracteurs de type Hénon et les fers à cheval non uniformément hyperboliques, qu'on s'essaiera à décrire tant du point de vue géométrique que probabiliste.

Mercredi 14 mai 2003, 16h00, Salle des séminaires

Joseph Oesterlé, Université Paris 6

"Un problème d'optimisation lié aux points des courbes sur les corps finis"

Jeudi 19 juin 2003, 16h00, Salle des séminaires

Michael Ferris, Université du Wisconsin, Madison

"Fractionation in cancer treatment planning"

Mercredi 26 novembre 2003, 16h00, Salle des séminaires

Mohamed Masmoudi, UMR MIP - CNRS, Université Toulouse II

" Du calcul différentiel à l'optimisation en 0-1 "

Résumé : Un problème d'optimisation de forme ou d'optimisation topologique revient à chercher la fonction caractéristique du domaine optimal. A première vue, il s'agit d'un problème d'optimisation en 0-1 non différentiable. Mais, on constate que l'on peut utiliser les outils du calcul différentiel si l'on passe de 1 à 0 ou de 0 à 1 dans une région de petite taille.

Si l'on crée un trou de centre x et de rayon epsilon dans un domaine Omega, la variation de la fonction coût J est donnée par

J(Omega \ B(x,epsilon))=J(Omega)+f(epsilon)g(x)+...

la fonction f est explicite, positive et tend vers zéro lorsque epsilon tend vers zéro. Elle est souvent égale au volume du trou créé, mais elle peut avoir d'autre comprotements. La fonction g est facile à calculer et elle permet de construire des algorithmes rapides: on crée des trous là où g est négative.

On présentera des applications de ces méthodes à l'optimisation topologique, à l'imagerie (détection de mines enfouies) et au contrôle bang-bang.

Mercredi 10 décembre 2003, 16h00, Salle des séminaires

Alessandra Carbone, Université Pierre et Marie Curie

" Espace des génomes: géométrie et signification biologique "

Résumé : Proteins are formed out of 20 amino-acids which are coded in triplets of nucleotides, called codons. The four nucleotides (A,T,C,G) define 64 codons used in the cell. Codons are not uniformely employed in the cell, but at the contrary, certain codons are preferred and we speak about codon bias. There are several kinds of codon biases and some of them are linked to specific biological functions. Based on some simple mathematical ideas on sequence analysis we can detect dominating codon bias in prokaryotic and eukaryotic organisms of any kind, and define a formal framework to interpret genomic relationships derived from entire genome sequences rather than individual loci. We shall give some intuition underlying some geometrical properties of the space of genes and of the space of organisms, and explain the biological meaning of spatial clustering.

Mercredi 28 janvier 2004, 16h00, Salle des séminaires

Christian Hess, Université Paris-Dauphine

"Un aperçu sur quelques problèmes de mathématiques de l'assurance"

Mercredi 18 février 2004, 16h00, Salle des séminaires

Claude Lobry , INRIA

"Problèmes mathématiques issus de procédés biologiques de dépollution"

Résumé : La dépollution biologique consiste à faire digérer par des bactéries certains types de polluants. L'opération se fait dans des "bio-réacteurs" dont il existe des modèles mathématiques sous la forme de systèmes différentiels ordinaires ou d'équations aux dérivées partielles. Un des objectifs des ingénieurs est d'améliorer le rendement de ces procédés ce qui se traduit par des questions mathématiques. Nous aborderons certaines d'entre elles, notamment celles qui ont trait au comportement asymptotique de certains systèmes non linéaire.

Mercredi 9 juin 2004, 14h30, Salle des séminaires

Christophe Soulé, CNRS, IHES

"Circuits positifs et multistationarité"

Synopsis : Despite their highly specialized characteristics, each of the more than 250 distinct kinds of cells in the human body carries an identical copy of the DNA.Hence, a fundamental task of biology is to understand cell differentiation Ð what it is that makes a neuron so different from a blood cell, and how these differences come to be.
As early as 1948,Max Delbrück suggested that since identical DNA does not imply identical patterns of gene expression, cell differentiation in humans or in any other organism might be associated with the existence of distinct states of expression in the genetic regulatory networks of the cell. Each type of cell would then correspond to a distinct "attractor" in the dynamics of the network of interacting genes and proteins, and the process of differentiation would involve the transition of the cell from one such state to another.
Following this picture, a principal aim of modern molecular biology is to elucidate the nature of development by exploring the dynamics of gene regulatory networks at the systems level. A gene, when expressed, leads to the production of proteins that can act to either activate or inhibit the expression of other genes. Within networks of such interacting genes and proteins, feedback loops play a central role in controlling the dynamics, and biologists have for many years recognized that negative feedback loops frequently help to stabilize gene expression. In the simplest case, for example, the protein product of a gene may act to inhibit the synthesis of that very gene. In this case, as the concentration of the protein increases, it will ultimately turn off its own synthesis.
What about positive feedback loops? In a positive feedback loop, the expression of some gene leads to a cascade of cause and effect that eventually feeds back to trigger a further increase in its expression, which then, in turn, triggers a still further increase. In the absence of mitigating factors, positive feedback of this kind would lead to an explosive and unbounded increase in the concentrations of various proteins. In reality, of course, other factors always come into play, and positive feedback tends to be associated with dynamics that switch the cell from one stable condition to another.
For example,upon entering an environment that is sufficiently rich in the sugar lactose, an Escherichia coli bacterium will begin expressing the lac operon, thereby producing a handful of enzymes that allow lactose digestion. The onset of expression takes place through positive feedback. A small molecule related to lactose and known as the "inducer" is the real stimulator of lac expression. Significantly, one of the enzymes that lac expresses, a permease, acts to pump this inducer into the cell. Hence,inside the cell,inducer tends to lead
to more permease and permease to more inducer. So, if a few inducer molecules make it into the cell, which happens naturally when lactose concentration reaches a certain threshold on the cell's exterior, this kicks off a process of positive feedback that leads rapidly to a change in gene expression from one state to another. This is a striking example of cell differentiation - a change in the state of a cell that is triggered by a historical event, in this case, by the temporary exposure to an adequate concentration of lactose. Once induced into lac expression, the bacterium will remain in this state even if the concentration of inducer subsequently falls below the threshold required to initiate lac expression in the first place. So the bacterium can exist in either of two stable states - induced or uninduced, corresponding
to expression or lack of expression of the lac operon. The cell's condition depends on not only its genes, but its history.

Abstract : We discuss properties which must be satisfied by a genetic network in order for it to allow differentiation. These conditions are expressed as follows in mathematical terms. Let F be a differentiable mapping from a finite dimensional real vector space to itself. The signs of the entries of the Jacobian matrix of F at a given point a define an interaction graph, i.e. a finite oriented finite graph G(a) where each edge is equipped with a sign. René Thomas conjectured 20 years ago that if F has at least two nondegenerate zeroes, there exists a such that G(a) contains a positive circuit. Different authors proved this in special cases, and we give here a general proof of the conjecture. In particular, in this way we get a necessary condition for genetic networks to lead to multistationarity, and therefore to differentiation. We use for our proof the mathematical literature on global univalence, and we show how to derive from it several variants of Thomas's rule, some of which had been anticipated by Kaufman and Thomas.

Jeudi 25 novembre 2004, 15h30, Salle des séminaires

Maurice Mignotte, Université de Strasbourg

" Puissances parmi les nombres de Fibonacci "

Mercredi 2 mars 2005, 16h, Salle des séminaires

François Jouve , Ecole Polytechnique>

" Optimisation de formes par la méthode des courbes de niveaux "

Résumé : dans le cadre de l'optimisation de structures élastiques, on introduira la méthode des courbes de niveaux, illustrée par de nombreux résultats numériques montrant son efficacité pour traiter une grande variété de problèmes de ce type. On tentera de faire le lien avec les problèmes d'optimisation de formes qui peuvent se poser au sein du laboratoire XLIM.

Mercredi 30 mars 2005, 16h, Salle des séminaires

Mireille Martin-Deschamps , Université de Versailles-St Quentin en Yvelines

" Courbes gauches, liaison et modules gradués "

Mercredi 27 avril 2005, 16h, Salle des séminaires

Marie-Françoise Roy , Université de Rennes I

" Algorithmes de la géométrie algébrique réelle: résultats récents et problèmes ouverts "

Résumé : On décrira quelques progrès récents concernant les algorithmes permettant de compter ou d'isoler les racines dans le cas des polynômes en une variable, qui éclairent sous un jour nouveau des résultats classiques de Budan-Fourier ou de Sturm. On expliquera ce qui est connu concernant la complexité de problèmes topologiques (calculs de composantes connexes, de nombreux de Betti, ... ) et terminera par quelques problemes ouverts (caluls de stratification, Positivstellensatz)

Lundi 20 juin 2005, 14h, Salle des séminaires

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty , Université Paul Sabatier, Toulouse

" Le rôle des conjectures dans l'avancement des mathématiques : exemples "

Mercredi 23 novembre 2005, 16h00, Salle des séminaires

Dominique Meizel, ENSIL

"Observation d'état de systèmes dynamiques : Intérêt pratique et méthodologies d'études "

Mercredi 7 décembre 2005, 16h00, Salle des séminaires

Donald Lutz, San Diego State University

" On the asymptotic behavior of solutions of linear differential and difference equations "

Abstract: A fundamental result of N. Levinson concerning the asymptotic integration of linear differential systems has been shown to play a central role in unifying and extending the theory. This theme will be explained and it will be shown how this had lead in recent years to many improvements. Some analogous results in the asymptotic theory of linear difference equations will also be presented.

Mercredi 8 février 2006, 16h00, Salle des séminaires

Frédéric MUTTIN, Ecole d'Ingénieur en Génie des Systèmes Industriels, La Rochelle

" Modèles non linéaires de membrane et de câble pour la protection du milieu marin lors de pollutions accidentelles par hydrocarbures ".

Mercredi 1er mars 2006, 16h00, Salle des séminaires

Pierre ROUCHON, Centre Automatique et Systèmes Ecole des Mines de Parisy

" Contrôle des systèmes quantiques "

Mercredi 5 avril 2006, 16h00, Salle des séminaires

Mireille BOUSQUET-MELOU , LABRI, Bordeaux, CNRS UMR 5800

" Les séries formelles algébriques en combinatoire énumérative "

Présentation par Olivier Ruatta :Mireille Bousquet-Mélou est directrice de recherche CNRS en informatique à Bordeaux. J'ai eu le plaisir de la rencontrer plusieurs fois au cours de colloques et rencontres portant sur les liens entre combinatoires, informatique théorique et physique théorique ou sur les structures discrètes aléatoires et j'ai pu apprécier son ouverture d'esprit et sa compétence scientifique. C'est une experte mondialement reconnue de combinatoire et plus spécialement de combinatoire énumérative. C'est une oratrice très claire et très rigoureuse, qui fait passer son enthousiasme. L'exposé qu'elle nous propose est un travail qu'elle exposera à l'International Congress of Mathematicians à Madrid cet été. Donc si vous ne pouvez pas aller à Madrid cet été mais que vous voulez voir un bel exposé de mathématiques, je ne peux que vous inviter à venir écouter et discuter.
J'essaie maintenant de motiver scientifiquement sans trop traïr l'orateur et son propos.
Cet exposé concerne la combinatoire énumérative qui est un sujet aux frontières des maths, de l'informatique et de la physique. Lorsque que vous avez une structure combinatoire dépendant d'un paramètre d, vous voulez savoir combien de structures correspondent au même d. Autrement dit, vous voulez énumérer les structures dépendant du paramètre d en fonction du paramètre d. Si N(d) et le nombre de telles structures correspondant à une valeur du paramètre d il est parfois très commode de considérer la série . Cette série est appelée série génératrice des N(d). Il existe une théorie permettant de connaitre la série à partir de description des structures, ce qui permet, en extrayant les coefficients, de connaitre les N(d). Que peut-on dire si la série est algébrique ?

Mercredi 31 mai 2006, 16h00, Salle des séminaires

Henri Lombardi , Université de Franche Conté, Besançon

" Objectifs et méthodes des mathématiques constructives "

Résumé : Les mathématiques constructives ont plusieurs objectifs qu'on peut décrire rapidement comme suit:

1. donner une sémantique claire pour (une grande partie de) les maths classiques
2. établir de manière sure (une grande partie de) les théorèmes des maths classiques
3. rétablir le contenu calculatoire que les mathématiques ont perdu avec la sémantique cantorienne moderne

On peut comprendre ceci comme "donner raison à Kronecker contre Dedekind" ou encore "réaliser le programme de Hilbert relu du point de vue constructif" (le programme de Hilbert était formulé d'un point de vue ultra finitiste et a été, sous cette forme, invalidé par Godel).

De manière plus immédiate, les maths constructives peuvent être comprises comme les mathématiques qui permettent une théorie "abstraite" correcte du calcul formel (l'abstraction ici consiste à ne pas se préoccuper des questions de complexité, mais uniquement des questions d'effectivité théorique)

L'écart entre les maths classiques et les maths constructives est moins important qu'on peut le supposer au premier abord. Par exemple la théorie constructive des types de Martin-Lof devient
équivalente à ZF si on lui rajoute le tiers exclu. Par ailleurs l'axiome du choix implique le tiers exclu.

Les maths constructives ont connu une renaissance avec le livre de Bishop en analyse constructive, les travaux de Seidenberg et Richman en algèbre constructive. Ces travaux ont montré que, contrairement à ce que croyait Hilbert, Cantor n'est pas le paradis, et Brouwer n'est pas l'enfer.

Aujourd'hui, de nouvelles méthodes sont développées pour attaquer de manière uniforme les problèmes posés par le recours au tiers exclu et à l'axiome du choix en maths classiques.
Des succès importants ont été obtenus dans le domaine de l'algèbre abstraite, ouvrant la voie à de nouvelles branches pour le calcul formel.